1、第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin_cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限常用结论与微点提醒1.同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212s
2、in cos ；sin tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)sin()sin 成立的条件是为锐角.()(3)若R，则tan 恒成立.()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()解析(1)对任意的角，sin2cos21.(2)中对于任意R，恒有sin()sin .(3)中当的终边落在y轴上，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，si
3、n ，当k为偶数时，sin .答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P186T15改编)已知tan 2，则()A. B. C. D.解析原式.答案A3.(老教材必修4P29T2改编)已知为锐角，且sin ，则cos()()A. B. C. D.解析因为为锐角，所以cos ，故cos()cos .答案A4.(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2()A. B. C. D.解析(sin cos )212sin cos 1sin 2，sin 21.答案A5.(2019济南质检)若sin ，且为第四象限角，则tan ()A. B. C. D.解析sin ，为第四象限角，cos
4、，因此tan .答案D6.(2020豫北六校精英对抗赛)若f(x)cos1，且f(8)2，则f(2 018)_.解析f(8)cos(4)1cos 12，cos 1，f(2 018)cos 1cos(1 009)1cos()1cos 1110.答案0考点一同角三角函数基本关系及其应用多维探究角度1切弦互化【例11】 (1)已知为第二象限角，tan ，则cos ()A. B. C. D.(2)若tan(3)5，则()A. B. C. D.解析(1)因为为第二象限角，所以tan ，解得cos .(2)由tan(3)5，得tan 5，所以.答案(1)B(2)A规律方法利用sin2cos21可以实现角的
5、正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化.角度2“1”的变换【例12】 (1)若tan()，则()A. B.2 C. D.2(2)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2等于()A. B. C. D.解析(1)tan()tan()tan ，2.(2)sin2sin cos 2cos2，又tan 2，故原式.答案(1)D(2)D规律方法注意公式的逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.角度3sin cos 与sin cos 的转化【例13】 (2019河南中原名校联盟联考)已知为第二象限角，sin ，cos 是关于x的方程2x2(1)xm
6、0(mR)的两根，则sin cos ()A. B.C. D.解析因为sin ，cos 是方程2x2(1)xm0(mR)的两根，所以sin cos ，sin cos ，可得(sin cos )212sin cos 1m，解得m.因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，因为(sin cos )212sin cos 1m1，所以sin cos .故选B.答案B规律方法应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.【训练1】 (1)(角度1)已知是第四象限角，sin ，则tan 等于
7、()A. B. C. D.(2)(角度2)若3sin cos 0，则的值为()A. B. C. D.2(3)(角度3)已知sin cos ，则sin cos 的值为_.解析(1)因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .(2)3sin cos 0cos 0tan ，.(3)sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，sin cos .答案(1)C(2)A(3)考点二诱导公式的应用【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点P(3，4)，则sin()A. B. C. D.(2)已知f()，则f的值为_.解析(1)由题意知sin ，co
8、s ，sinsincos .(2)因为f()cos ，所以fcoscos .答案(1)B(2)规律方法(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5)cos()cos .【训练2】 已知f()(sin 0且12sin 0)，则f_.解析f()，f.答案考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020邯郸联考)已知3sin5cos，则tan()A. B. C. D.(2)已知为锐
9、角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin ()A. B. C. D.解析(1)由3sin5cos，得sincos，所以tan.(2)由已知得消去sin ，得tan 3，sin 3cos ，代入sin2cos21，化简得sin2，则sin (为锐角).答案(1)A(2)C规律方法1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.【训练3】 (1)已知角的终边在第三象限，tan 22，则sin2sin(3)cos(2)cos2等于()A. B. C. D.(2)已知sin ，则t
10、an()_.解析(1)由tan 22可得tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .又角的终边在第三象限，故tan ，故sin2sin(3)cos(2)cos2sin2sin cos cos2.(2)sin 0，为第一或第二象限角，tan()tan .当是第一象限角时，cos ，原式；当是第二象限角时，cos ，原式.综合知，原式或.答案(1)D(2)或A级基础巩固一、选择题1.(2019闽粤赣三省十校联考)若，sin ，则tan ()A. B. C. D.解析因为，sin ，所以cos ，所以tan .答案C2.已知sin()cos(2)，|，则等于()A. B. C. D.
11、解析sin()cos(2)，sin cos ，tan ，|，.答案D3.()A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.(sin 2cos 2) D.cos 2sin 2 解析|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案A4.(2020成都诊断)已知cos()，则sin()A. B. C. D.解析由cos()cos ，得cos ，sincos 22cos21.答案D5.若，则tan ()A.1 B.1 C.3 D.3解析因为，所以2(sin cos )sin cos ，所以sin 3cos ，所以tan 3.答案D6.当为第二象限角，且sin时，的值是()A.1 B.1 C.
12、1 D.0解析sin，cos ，在第一象限，且cos sin ，1.答案B7.已知sin，则cos()A. B. C. D.解析因为sin，所以cossinsin.答案B8.已知sin xcos x，x(0，)，则tan x等于()A. B. C. D.解析由题意可知sin xcos x，x(0，)，则(sin xcos x)2，因为sin2xcos2x1，所以2sin xcos x，即，得tan x或tan x.当tan x时，sin xcos x0，所以A为锐角，由tan A以及sin2Acos2A1，可求得sin A.答案10.已知为第四象限角，sin 3cos 1，则tan _.解析由
13、(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因为为第四象限角，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan .答案11.化简：_.解析原式1.答案112.已知tan 3，则cos_.解析tan 3，cossin 2.答案B级能力提升13.(2020河北六校联考)若sin 是方程5x27x60的根，则()A. B. C. D.解析方程5x27x60的两根分别为x12和x2，sin .则，故选B.答案B14.若tan cos ，则cos4的值为()A. B.2 C.2 D.4解析tan cos cos sin cos2，故cos4sin2sin 1cos2
14、sin 1sin 2.答案215.已知是三角形的一个内角，且sin ，cos 是关于x的方程4x2px20的两根，则等于_.解析由题意知sin cos ，联立得或又为三角形的一个内角，sin 0，则cos ，.答案16.(多填题)已知sincos，且0，则sin _，cos _.解析sincoscos (sin )sin cos .0，0sin cos .又sin2cos21，sin ，cos .答案C级创新猜想17.(多选题)已知tan4cos(2)，|，则()A.sin B.cos C.cos 2 D.tan 2解析因为tan4cos(2)，所以4cos ，又|，所以sin ，cos ，tan ，所以cos 22cos21，tan 2.答案BD