1、第三节数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如abi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位abi为实数b0，abi为虚数b0，abi为纯虚数a0且b0复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复数a(a为实数)的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴(除原点)叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|z|abi| 2.复数的几何意义复数zabi(a，bR) 复平面
2、内的点Z(a，b) 向量.3复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i把实部、虚部分别相加减乘法z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成1除法i(cdi0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算律：设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)1.复数abi(a，bR)数系表：2复数不能比较大小3几个重要运算结论：(
3、1)(1i)22i；i；i.(2)baii(abi).(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*).(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*).1(基础知识：复数的几何意义)设z32i，则在复平面内，对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C2(基本方法：复数的乘除法运算)复数的共轭复数是()A2i B2iC34i D34i答案：C3(基本应用：纯虚数)若复数z1为纯虚数，则实数a()A2B1 C1D2答案：A4(基本能力：复数的表示方法)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件
4、 D既不充分也不必要条件答案：C5(基本方法：复数的模)复数z，其中i为虚数单位，则|z|_答案：题型一复数的概念 典例剖析类型 1对复数的理解例1(1)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3 B2C2 D3解析：(12i)(ai)a2(12a)i，由题设知a212a，解得a3.答案：A(2)已知i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解析：由(12i)(ai)ai2ai2a2(12a)i，且(12i)(ai)为纯虚数，可得a20且12a0，所以a2.答案：2(3)已知(m21)(m22m)i0，求实数m.解析：由题意得m2.类型 2复数相等例
5、2(1)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由a，bR，(abi)2a2b22abi2i，得所以或答案：A(2)(2021汉中模拟)已知a，bR，(ai)ib2i，则abi的共轭复数为()A2i B2iC2i D2i解析：由(ai)ib2i得1aib2i，b1，a2.abi2i，共轭复数为2i.答案：A(3)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：由(1i)(1bi)a得1b(1b)ia，根据复数相等的条件可得解得所以2.答案：2方法总结1明确复数的分类以及复数成为
6、实数，虚数或纯虚数的充要条件2(1)找准复数的实部和虚部复数的相关概念都与实部和虚部有关(2)复数问题实数化解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理题组突破1(2021汕头模拟)若复数(aR)为纯虚数，则|3ai|()A B13C10 D解析：，因为复数(aR)为纯虚数，所以即解得a2，所以|3ai|32i|.答案：A2若复数z满足2zz(2i)2(i为虚数单位)，则z为()A1i B12iC12i D12i解析：设zabi，则2(abi)(abi)(abi)a2b22a2bi34ia1，b2z12i.答案：B题型二复数的运算 典例剖析类型 1复数的乘法及乘方运算例1
7、(1)(2020高考海南卷)(12i)(2i)()A45i B5iC5i D23i解析：(12i)(2i)2i4i25i.答案：B(2)(2020高考全国卷)(1i)4()A4 B4C4i D4i解析：(1i)4(12ii2)2(2i)24i24.答案：A类型 2复数除法及倒数运算例2(1)(2020高考山东卷)()A1 B1Ci Di解析：i.答案：D(2)(2020高考全国卷)复数的虚部是()A BC D解析：zi，虚部为.答案：D(3)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1i B1iC1i D1i解析：由已知等式可得z1i.答案：D类型 3求复数、模及综合运算例3(1)(2020高考
8、全国卷)若z1i，则|z22z|()A0 B1C D2解析：法一：z22z(1i)22(1i)2，|z22z|2|2.法二：|z22z|(1i)22(1i)|(1i)(1i)|1i|1i|2.答案：D(2)(2021龙岩模拟)已知复数z满足(12i)z34i，则|z|()A B5C D解析：(12i)z34i，|12i|z|34i|，则|z|.答案：C方法总结 1复数的加减法运算：合并实部，合并虚部乘法运算：类似多项式展开，要把i2换为1.除法运算：类似多项式的分母有理化，而复数的除法需要分母实数化对于乘方，注意运用i的乘方规律2对于求复数，可利用方程思想，把z看作未知数，进行等价变形求解或利
9、用实数化求解3注意应用一些特殊的运算结果及模的运算性质：|z1z2|z1|z2|；|z1z2|z1|z2|.4共轭复数的运算性质：(1)z|2|z|2.(2)|z|1z1.(3)非零复数z，则z为纯虚数z0.(4)，z1z212.题组突破1若z12i，则()A.1 B1 Ci Di解析：z(12i)(12i)5，i.答案：C2(2021唐山模拟)已知复数z满足(1i)z2，则z的共轭复数为()A1i B1iCi Di解析：由(1i)z2，得z1i，1i.答案：A题型三复数几何意义的应用 典例剖析类型 1复数与点的对应例1(1)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值
10、范围是()A(3，1) B(1，3)C(1，) D(，3)解析：要使复数z对应的点在第四象限，需要满足解得3m1.答案：A(2)(2019高考全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：由已知条件，可得zxyi.|zi|1，|xyii|1，x2(y1)21.答案：C类型 2复数与向量的对应例2已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_解析：由条件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根据，得(3，4)(1，2)(1，1)(，
11、2)，解得1.答案：1方法总结对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，一一对应(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观题组突破1如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A13i B3iC3i D3i解析：由题图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i.答案：D2复数z满足|zi|zi|2，求|z1i|的最值解析：由|zi|zi|2可知：复数z对应的点Z与点A(0，1)，B(0，1)的距离之和为2，而|AB|2，所以复数z对应的点Z在以A，B
12、为端点的线段上而|z1i|z(1i)|表示点Z到点C(1，1)的距离，因而所求问题的几何意义是求定点C到线段AB上的动点Z的距离的最大值与最小值，即：|z1i|max|BC|，|z1i|min|AC|1.1(2020高考全国卷)若z12ii3，则|z|()A0 B1C D2解析：z12ii312ii1i，|z|.答案：C2(2020高考全国卷)若z(1i)1i，则z()A1i B1iCi Di解析：因为zi，所以zi.答案：D3(2019高考全国卷)设z，则|z|()A2 BC D1解析：法一：zi，|z|.法二：|z|.答案：C4(2020高考全国卷)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z
13、1z2i，则|z1z2|_解析：法一：设z1z2abi，a，bR，因为z1z2i，所以2z1(a)(1b)i，2z2(a)(1b)i.因为|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4，所以 4，4，22得a2b212.所以|z1z2|2.法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1z2对应向量.由题知|2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1z2对应向量，OAACOC2，可得BA2OA sin 602，故|z1z2|2.答案：2如图所示，在复平面中，r，cos ，sin ，tan (a0).任何一个复数zabi(a，bR)都可以表示成zr(cos isin )的形式我们把r(cos isin )叫做复数的三角形式对应于复数的三角形式，把zabi叫做复数的代数形式将复数i表示成三角形式r(cos isin ).当0，2)时，求出的值解析：因为a，b1，所以r 2，即i2.故.