1、第十四章 推理与证明第1节 合情推理与演绎推理题型149 归纳推理暂无1. (2013陕西理14）观察下列等式：照此规律，第个等式可为 . 2.（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数，第个三角型数为记第个边形数为 ()，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数 ，正方形数 ，五边形数 ，六边形数 ， 可以推测的表达式，由此计算 3.（2014 陕西理 14） 观察分析下表中的数据： 多面体 面数() 顶点数() 棱数() 三棱锥 五棱锥 立方体 猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.4.(2015山东理11) 观察下列各式：；照此规律，当时， .
2、4.解析 观察各等式两侧的规律，由归纳推理的思想，不难发现：5.（2015湖北理10）设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，同时成立，则正整数的最大值是（ ）A B C D 5.解析 由， ，得，由得，与矛盾，所以正整数的最大值是4.故选B.命题意图 考查归纳推理与不等式的性质.题型150 类比推理暂无1. (2013福建理15）当时，有如下表达式：，两边同时积分得： ，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： 题型151 演绎推理暂无1（2013四川理15）设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点
3、都是端点的中位点则有下列命题：若三个点共线，在线段上，则是的中位点；直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）2. (2013安徽理14）如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等. 设.若，则数列的通项公式是 . 3. （2013浙江理10）在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记.设是两个不同的平面，对空间任意一点，恒有，则A. 平面与平面垂直 B. 平面与平面所成的（锐）二面角为 C. 平面与平面平行 D. 平面与平面所成的（
4、锐）二面角为 4. (2013湖南理8）在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于（ ）.A B C D 5.（2014 新课标1理14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 .6.（2014 北京理 20）（本小题13分）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，（1） 对于数对序列，求的值.（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由个数对
5、组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.7.（2017全国2卷理科7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）.A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩7解析 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话甲不知道自己成绩乙、丙中必有一优一良（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）.乙看了丙成绩，知道自己的成绩丁看甲，甲、丁中也为一优一良
6、，丁知道自己的成绩故选D.8.（2017 全国1卷理科12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.A. B. C. D.8. 解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，令，得且，即出现在第13组
7、之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，得的最小值为，则.故选A.第2节 证明题型152 综合法与分析法证明1.（2015全国II理24）选修4-5：不等式选讲设，均为正数，且.证明：(1)若，则；(2)是的充要条件.1.分析（1）由，及 ，可证明 ，两边开方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析（1）因为，由题设，得，因此.（2）( i)若，则，即.因为，所以，由（）得.( ii)若，则，即.因为，所以，于是，因此.综上，是的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件
8、的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2.（2016山东理16（1）在中，角，的对边分别为，已知求证：；2.解析 （1）由题意知，化简得，即.因为，所以.从而.由正弦定理得.3.（2016四川理17（1）在中，角， 所对的边分别是， ，且.证明：；3.解析（1）根据正弦定理，可设，则，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以4.（2016浙江理20（1）设数列满足，求证：，；4.解析 由，得.两边同时除以，得，所以，因此.5.（2016天津理18）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的， 是和的等比中项.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，.求证：.5.
9、解析 （1）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（2）证明：.所以.题型153 反证法证明1.（2015湖南理16（3）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.1.解析 证明： 由，得 （）由基本不等式及，有，即.() 假设与同时成立，则由及得；同理，从而，这与相矛盾. 故与不可能同时成立.2.（2016全国甲理15）有三张卡片，分别写有和，和，和.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_.3.（2016浙江理20）设数列满足，（1）
10、求证：，；（2）若，证明：，3.解析 （1）由，得.两边同时除以，得，所以，因此.（2）任取，由（1）知，对于任意，故从而对于任意，均有，当趋于正无穷时，单调递减趋于，即否则存在，有，取正整数，且，则，即与式相矛盾.由上所述，对于任意，均有.4（2016上海理23（3） 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质（1）若具有性质 且， ， ， ，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”4解析 （1）因为，所以，因为，所以，所以（2）设的公差为，的公差为，则，因为，所
11、以，故；因为，所以，故所以，由题意，但，显然故不具有性质（3）先论证充分性：若为常数列，不妨设，则，若存在使得，则，故具有性质再论证必要性：证法一（反证法）：假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为，所以，依此类推，得，但，即，所以不具有性质，与假设矛盾，所以是常数列综上所述：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”证法二：考察连续函数，其中为任意实数，因为，所以存在，使得，若对任意的，都具有性质，取，此时，从而会有，因此对任意的，都有，从而是常数列综上所述：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”评注 事实上，若对任意，具有
12、性质，则，构造函数，由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点（但这一点需要数学理论的论述），所以一定能找到一个，使得，所以，即故，所以是常数列题型154 数学归纳法证明暂无1.（2015江苏23）已知集合，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明故与不可能同时成立.1.分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质带标记的表示为的倍数或约数（其实是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或约数，此题不作研究）这样研究时，可直接得：，当时
13、，可直接得：这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究解析 （1）当时，可取，共个，故（2）当时，证明：当时，枚举可得，符合通式；假设时，成立，即成立，则当时，此时，此时比多出有序数对个，即多出，从而，符合通式；另外，当，同理可证，综上，即，即当时也成立例如时，则，综上所述：2.（2015安徽理18）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标（1）求数列的通项公式；（2）记，求证：.2. 解析 （1），所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为令，解得切线与轴的交点的横坐标（2）证法一：证明：由题设和（）中的计算结果知：当时，；当时，因为，所以综上可得对任意的，均有证法二：分析 证明
14、数列不等式时，对于不等式两端含且一端是积的形式，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明证明：设是数列的前项积，则当时，；当时，所以由（1）可得，当时，；当时，所以此时，所以可得，综上可得，即3.（2015广东理21）数列满足：.(1) 求的值；(2) 求数列的前项和；(3) 令，求证：数列的前项和满足.3. 解析（1）由题可得，所以（2）由题可得当时， ，所以又也适合此式，所以，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故（3）由题可得，所以， ，所以 记，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，当时
15、，所以，所以，所以，即有，所以，即4.（2015湖北理22）已知数列的各项均为正数，e为自然对数的底数（1）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令，数列，的前项和分别记为, 证明：. 4. 解析 （1）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，即.令，得，即. （2）；. 由此推测： 下面用数学归纳法证明. （1）当时，左边右边，成立. （2）假设当时，成立，即.当时，由归纳假设可得：.所以当时，也成立. 根据（1）（2），可知对一切正整数都成立. 所以.（3）由的定义，算术-几何平均不等式，的定义及得：，即. 5.（2015浙江理20）已知数列满足=且（1）证明： ；（2）设数列的前项和为,证明.5.解析 （1）由题意得，所以， ，所以与同号，又，所以，所以，（2）由题意得，所以， 又，所以 所以，因此， 所以 所以 6.（2015重庆理22）在数列中，（1）若，求数列的通项公式；（2）若，证明：.6. 解析 （1）由, ,有.若存在某个，使得，则由上述递推公式易得重复上述过程可得，此时与矛盾，所以对任意的，从而，即是一个公比，首项的等比数列故（2）由，数列的递推关系式变为，变形为由上式及，归纳可得因为，所以对求和得 =.另一方面，由上已证的不等式知，得： .综上所述：