1、5.5 向量的应用知识梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力.特别提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.点击双基1.若O是ABC内一点，+=0，则O是ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+.又+=0，+=.=.O为AD的中点，且A、O、D共线.又E为OD的中点，O是中线AE的三等分点，且OA=AE.O是ABC的重心.答案：D2.将椭圆x2+6y22x12y13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的
2、坐标是A.（1，1）B.（1，1）C.（1，1）D.（1，1）解析：椭圆方程变形为（x1）2+6（y1）2=20.需按a=（1，1）平移，中心与原点重合.答案：C3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（1，3），若点C满足=+，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为A.3x+2y11=0B.（x1）2+（y2）2=5C.2xy=0D.x+2y5=0解析：C点满足=+且+=1，A、B、C三点共线.C点的轨迹是直线AB.答案：D4.在四边形ABCD中，=0，=，则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由=0知.由=知BCAD.四边形ABCD是矩形.答案：
3、C5.（2004年全国，理9）已知平面上直线l的方向向量e=（，），点O（0，0）和A（1，2）在l上的射影分别是和A，则=e，其中等于A.B.C.2D.2解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、C，验证D即可.答案：D典例剖析【例1】 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（tR）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：b（a+tb）.剖析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b（a+tb）=0，则证得了b（a+tb）.（1）解：设a与b的夹角为，则|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a（tb）=|a|2
4、+t2|b|2+2t|a|b|cos=|b|2（t+cos）2+|a|2sin2，所以当t=cos=时，|a+tb|有最小值.（2）证明：因为b（a+tb）=b（ab）=abab=0，所以b（atb）.评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便.思考讨论对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题.深化拓展已知=a，=b，ab=|ab|=2，当AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.解：因为|
5、ab|2=4，所以a22ab+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2ab=8，SAOB=sin=|a|b|=，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）所以当|a|=|b|=2时，AOB的面积取最大值，这时，cos=，所以=60.【例2】 如图，四边形MNPQ是C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120，=2.（1）求C的方程；（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可.解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.与
6、的夹角为120，故QCM=60.于是QCM为正三角形，CQM=60.又=2，即|cosCQM=2，于是r=|=2.故C的方程为x2+y2=4.（2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，而|QN|=2，|QM|=2，于是a=+1，b2=a2c2=2.所求椭圆的方程为+=1.评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视.闯关训练夯实基础1.（2004年辽宁，6）已知点A（2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足=x2，则点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：=（2x，y），=（3x，y），=（2x）（3x）+（y）2=x2，整理得y2=x+6.P点的轨迹为抛物
7、线.答案：D2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析：台风中心移动t h，城市B处在危险区，则（20t）2+402220t40cos45900.t+.B城市处在危险区的时间为1 h.答案：B3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为_.解析：如图，AD=DC=20.BD=ADtan60=20.塔高为20（1+） m.答案：20（1+） m4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，
8、为使所走路程最短，小船应朝_方向行驶.解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水=1，v船=，ADC=90，CAD=45.答案：与水速成135角的5.如图，ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）. 证明：设=m，=b，=c，则m=，mm=b2+bc+c2=AB2+AC2+ABACcosBAC=AB2+AC2+ABAC=AB2+AC2+（AB2+AC2BC2）.AM2=AB2+AC2BC2.又BC2=4BM2，AB2+AC2=2（AM2+BM2）.6.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.ACW=150，BCW=120
9、，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10 N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f1，=f2，=f，则ECW=180150=30，FCW=180120=60，FCE=90.四边形CEWF为矩形.|=|cos30=10=5，=|cos60=10=5.A处受力为5 N，B处受力为5 N.培养能力7.已知A（4，0），N（1，0），若点P满足=6|.（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）求|的取值范围；（3）若M（1，0），求MPN在0，上的取值范围.解：（1）设P（
10、x，y），=（x4，y），=（1x，y），=（3，0），=6|，3（x4）=6，即3x2+4y2=12.=1.P点的轨迹是以（1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4x0，=e=，|PN|=d=.2x02，1|PN|3.当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（2，0）.（3）令|PN|=t（1t3），则|PM|=4t，|MN|=2，cosMPN=1+.由1t3，得3t（4t）4，cosMPN1.0MPN.8.如图，已知ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，4
11、），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把ABC分成面积相等的两部分.解：设P分的比为1，则4=1=3，即=3，=.又=，=，即=2.设2=，则2=2.xQ=5，yQ=.Q（5，）.探究创新9.如下图，已知OFQ的面积为S，且与的数量积等于1，（1）若S2，求向量与的夹角的取值范围；（2）设|=c（c2），S=c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程.解：（1）tan=2S.又S2，1tan4.arctan4.（2）以O为原点，所在直线为x轴建立坐标系，设椭圆方程为+=1（ab0），点Q（x1，y1），则=（x1c，y1）.又OFQ的
12、面积为|y1=c，y1=.又由=1，解得x1=c+.|=（c2）.设f（c）=c+，则（c）=1=.当c2时，（c）0，f（c）在2，）上递增，当c=2时，|最小，此时Q（，），由此可得a2=10，b2=6.椭圆方程为=1.思悟小结向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛.教师下载中心教学点睛教材中安排了解三角形应用举例和实习作业，根据新教材突出应用这一显著特点，教学中应充分利用这些素材，使学生受到把实际问题抽象成数学
13、问题的训练，渗透数学建模思想，培养学生分析、解决实际问题的能力.拓展题例【例1】 已知a=（x2，x），b=（x，x3），x4，4.（1）求f（x）=ab的表达式；（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.解：（1）f（x）=ab=x2x+x（x3）=x3+x23x，x4，4.（2）（x）=x2+2x3=（x+3）（x1）.列表：x4（4，3）3（3，1）1（1，4）4（x）+00+f（x）极大值9极小值故当x=1时，f（x）有最小值为.此时a=（，1），b=（1，2）.设为a与b的夹角，则cos=.又由0，得=.【例2】 如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳
14、子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）分析：先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解.解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为1，F2与竖直方向的夹角为2，则有（其中g为重力加速度）.由式和式消去2，得m28mcos1+12=0，即m=4cos12.cos20，由式知，式中m=4cos12不合题意，舍去.又4cos2130，解得cos11.经检验，当cos1=时，cos2=0，不合题意，舍去.2m6.综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.评注：（1）m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.（2）实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略cos20的实际限制.