1、每日一题规范练(第五周)题目1(本小题满分12分)已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值解：(1)根据已知a11，an1an2，即an1an2d，所以数列an是一个等差数列，ana1(n1)d2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn即n2，又nN*，所以n1或2.题目2(本小题满分12分)已知ABC的内角A，B，C的对边
2、分别为a，b，c，a2b2ab.(导学号 54850160)(1)若，B，求sin A；(2)若4，AB边上的高为，求C.解：(1)由已知B，a2b2ab，结合正弦定理，得4sin2A2sin A10，于是sin A.因为0A，所以sin A，得sin A.(2)由题意可知SABC absin Cc2，得absin C(a2b22abcos C)(4ab2abcos C)从而sin Ccos C2，即sin1，又因为C，所以C.题目3(本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559551563552y6016055975995
3、98(1)从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；(2)求特征量y关于x的线性回归方程x：并预测当特征量x为570时特征量y的值解：(1)从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C10种方法，都小于600，有C3种方法，所以至少有一个大于600的概率P11.(2)x554，y600，0.25，y x461.5，所以0.25x461.5，所以当x570时，604，即当特征量x为570时特征量y的值为604.题目4(本小题满分12分)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF平面ABCD，DE平面ABCD，ADBC，ABCD，ABC60，B
4、CAF2AD4DE4.(1)请在图中作出平面，使得DE，且BF，并说明理由；(2)求直线EF与平面BCE所成角的正弦值解：(1)取BC的中点G，连接EG，DG，则平面EDG为所求因为AD2，BG2，ADBC，所以四边形ADGB是平行四边形，所以ABDG，因为AB平面EDG，DG平面EDG，所以AB平面EDG.同理AF平面EDG，因为ABAFA，所以平面ABF平面EDG，因为FB平面ABF，所以BF平面EDG.(2)以点A为坐标原点，AD为y轴，AF为z轴，过A垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则F(0，0，4)，E(0，2，1)，B(，1，0)，C(，3，0)所以(0，2，3)，(
5、0，4，0)，(，3，1)，设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则令x，取n(，0，3)，所以cos，n.故直线EF与平面BCE所成角的正弦值为.题目5(本小题满分12分)已知函数f(x)axln x，其中a为常数(导学号 54850161)(1)当a1时，求f(x)的单调增区间；(2)当0e时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数根解：(1)由已知可知函数f(x)的定义域为x|x0，当a1时，f(x)xln x，f(x)，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以f(x)的单调增区间为(0，1)(2)因为f(x)a，
6、令f(x)0，解得x；由f(x)0解得0x；由f(x)0，解得xe.从而f(x)的单调增区间为，减区间为，所以f(x)maxf1ln3.解得ae2.(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，所以|f(x)|1.令g(x)，则g(x).当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0，从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以g(x)maxg(e)1，所以|f(x)|g(x)，即|f(x)|，所以方程|f(x)|没有实数根题目6(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(1，0)，经过点F的直线m与椭圆交于A，B两点当直线mx轴时，|AB|.(1)求椭圆C的
7、方程；(2)作直线lx轴，分别过A，B作AA1l，垂足为A1，BB1l，垂足为B1，且A1FB1是直角三角形问：是否存在直线l使得A1FO2B1FO？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)由题意可知c1，.又因为a2b2c2，可以解得a22，b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)不妨设点A在x轴上方，由题意可知A1FB190，要使A1FO2B1FO，则当且仅当A1FO2B1FO60.所以tan A1FO，tan B1FO.设直线l与x轴交于点H，则|A1H|3|B1H|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xm，则A1(m，y1)，B1(m，y2)所以y13y2，又(
8、m1，y1)，(m1，y2)，由A1FB1F，得0，即(m1)2y1y20.由题意可知，AB不与y轴垂直，所以可设l0的方程为：xty1，代入椭圆方程y21得(t22)y22ty10，易知4t24(t22)0恒成立则y1y2，y1y2.由可得y1，y2，代入中可得，解得t21，因此y1y2，从而m1.由题意可知直线l在焦点F的右侧，所以存在符合题意的直线l：x1.题目7请考生在1、2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 1(本小题满分10分)已知直线l：sinm，曲线C：(1)当m3时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围解：(
9、1)直线l：sinm，展开得m，化为直角坐标方程为yxm，当m3时，化为yx30.曲线C：化为(x1)2y23.圆心C(1，0)到直线l的距离dr，因此直线l与曲线C相切(2)因为曲线C上存在到直线l的距离等于的点，所以圆心C(1，0)到直线l的距离d，解得2m4.所以实数m的范围是2，42(本小题满分10分)设函数f(x)|x|(xR)的最小值为a.(1)求a；(2)已知两个正数m，n满足m2n2a，求的最小值解：(1)f(x)当x(，0)时，f(x)单调递减；当x0，)时，f(x)单调递增；所以当x0时，f(x)的最小值a1.(2)由(1)知m2n21，则m2n22mn，得2，由于m0，n0，则22，当且仅当mn时取等号所以的最小值为2.
