1、上海市黄浦区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.大于且终边与角重合的负角是_.【答案】【解析】【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于且终边与角重合的负角是.故答案：【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.2.方程的解为_.【答案】6【解析】【分析】分数化为以2为底的指数，指数相等即可解出x.【详解】，解得.故答案为：6【点睛】本题考查指数方程的解法，属于基础题.3.平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义计算.【详解】因为角的终边经过点，所以.故答案为
2、：【点睛】本题考查任意角三角函数，属于基础题.4.已知，则_【答案】【解析】5.（）的反函数_【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x0，所以，所以.因为x0，所以y0，所以反函数，.故答案为，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.在中，若面积，则_.【答案】【解析】【分析】结合余弦定理和三角形的面积公式可知，整理后即可知，进而可求出.【详解】解：在中，由余弦定理可知，所以，由，可得，即，因为，所以，即，所以.故答案为: .【点睛】本题考查了余弦定理，考查了
3、三角形的面积公式，属于基础题.7.函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】【分析】由正切函数的单调性可得，解不等式即可求出函数的递增区间.【详解】解：令，解得，则函数的单调递增区间为，故答案为: .【点睛】本题考查了正切函数单调区间的求解，属于基础题.本题的易错点是解不等式时，忘记每一项都需要乘6.8.若，则_（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】【分析】先求出，根据得，即得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.若，则_.【答案】【解析】【分析】本题首先可以根据以及对原式进行化简，然后根据即可
4、得出结果.详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查两角和的正切公式、两角差的正切公式以及二倍角公式，考查化归与转化思想，是中档题.10.设，函数的图象与轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为_.【答案】【解析】【分析】通过分析可知图象与轴的交点中距离最小为周期的一半，求出函数的周期即可求出本题的答案.【详解】解：由函数的解析式可知，由正弦函数的图象进行了左右平移及伸缩变换，得到该函数，未作上下方向的平移变换，所以图象与轴的交点中距离最小为周期的一半，函数的周期为，所以最小距离为.故答案为: .【点睛】本题考查了正弦型函数图象与性质，属于基础题.11.若函数（且）
5、的反函数的图像都过点，则点的坐标是_.【答案】【解析】【分析】首先求出函数过的定点，再根据原函数与反函数图象关于对称即可求出点P的坐标.【详解】令得，此时，所以函数过定点，所以函数（且）的反函数的图像都过点.故答案为：【点睛】本题考查对数函数、对数函数的反函数，属于基础题.12.若将化成（，）的形式，则_.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式及诱导公式化简即可得解.【详解】方法一：，由待定系数法，得，又，.方法二：由辅助角公式及诱导公式可得，即.故答案为：【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.二、选择题13.“”是“”成立的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
6、C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质将对数不等式进行等价转化，注意使对数有意义的条件，然后根据充分、必要条件的定义作出判定即可.【详解】当等价于，是的必要不充分条件，“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，涉及对数不等式，考查等价转化思想，属基础题.14.下列函数中，周期是的偶函数为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据定义判断各选项中函数的奇偶性与周期性，即可选出正确答案.【详解】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，周期为；B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇
7、函数，周期为；C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为；D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，属于基础题.15.为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】【详解】本题考查函数图像平移变换:函数的图像平移单位(,向左；,向右)所得图像对应函数为将函数图象平移个单位后，所得图像对应函数为；令得.故选：D16.已知，的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式将分子、分母化为同角，即可
8、求解.【详解】故选：B.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，解答的关键就是确定角之间的关系，合理应用诱导公式，属于基础题.三、解答题17.已知，求和的值.【答案】；.【解析】【分析】根据及角的范围求出，结合两角和与差的正弦余弦公式可求，或者利用诱导公式通过求解.【详解】由题意，.或者由诱导公式，可直接得到.【点睛】本题主要考查三角函数给值求值问题，根据平方关系求出另一个弦函数是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）（2）已知，试用表示.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算
9、法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.【详解】（1）设，写成指数式.两边取以为底的对数，得.因为，因此上式两边可除以，得.所以，.（2）.【点睛】本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.19.如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，.如果与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？并求这个最大值.【答案】时，矩形的周长最大，最大值为.【解析】【分析】由题意可知的取值范围，分别求得矩形的边长关于的三角函数表达式，得到周长关于的三角函数表达式，利用辅助角公式化简后
10、，利用三角函数的图象和性质研究最大值.【详解】由题意可知，而，所以.同理可得，.于是矩形的周长为所以，当，即时，矩形的周长最大，最大值为.【点睛】本题考查利用三角函数的图象和性质求解实际应用中的最值问题，涉及辅助角公式，属基础题.20.已知函数，其中为非零实常数.（1）若，求函数的定义域；（2）试根据的不同取值，讨论函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1)代入，由真数大于零可得，解不等式即可求出函数的定义域.(2)对的取值进行分类讨论，结合奇偶性的定义即可判断出函数的奇偶性.【详解】(1)解：当时，令，即 ，解得，或，即函数的定义域为.(2)令，即，当，即时，不等
11、式的解为或，定义域为关于原点对称，则，则，即函数为奇函数；当时，此时，不符合题意；当且时，函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.综上所述，当且时，函数为非奇非偶函数；当时，函数为奇函数.【点睛】本题考查了对数函数定义域的求解，考查了分式不等式的求解，考查了函数奇偶性的判断，考查了分类讨论的思想.本题的易错点是忽略讨论函数的定义域是否关于原点对称.21.在中，、所对的边长为、，.（1）若，求；（2）讨论使有一解、两解、无解时的取值情况.【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理求得B的正弦值，进而求解；（2）解法一：固定边（即）和角，以为圆心，边（即）为半径作圆弧，该圆弧与角除外的另一边所在射线的交点即为点.利用几何方法判定解的个数的不同情况的条件；解法二：利用正弦定理求得，其中，转化为函数与水平直线交点的个数，然后利用正弦函数的图象的性质求解.【详解】（1）由正弦定理，得或；（2）解法一：如图所示：，即时，无解；或，即或时，有一解；，即时，有两解.解法二：应用正弦定理，得（*），其中，方程（*）的解的个数，即函数与水平直线交点的个数.如图所示：当，即时，无解；当或，即或时有一解；当，即时有两解；【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，讨论三角形的解的个数，涉及几何作图方法和三角函数的图象的应用，属中档题.
