1、4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）知识梳理1.在公式S（+）、C（+）、T（+）中，当=时，就可得到公式S2、C2、T2，在公式S2、C2中角没有限制在T2中，只有当+且k+时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2.变形公式sin2=，cos2=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.点击双基1.下列各式中，值为的是A.sin15cos15B.2cos21C.D.解析：=tan45=.答案：D2.设a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，c=，则a、b、c的大小关系是A.abcB.acbC.bcaD.bac解
2、析：a=sin59，c=sin60，b=sin61，acb.答案：B3.若f（tanx）=sin2x，则f（1）的值是A.sin2B.1C.D.1解析：f（1）=ftan（）=sin=1.答案：B4.（2005年春季上海，13）若cos=，且（0，），则tan=_.解析一：由cos=，（0，），得sin=，tan=.解析二：tan=.答案：5.（2005年春季北京，11）已知sin+cos=，那么sin的值为_，cos2的值为_.解析：由sin+cos=，得1+sin=，sin=，cos2=12sin2=12=.答案： 典例剖析【例1】 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的
3、最大值和最小值，若x0，呢？剖析：注意sinx+cosx与sinxcosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则y=t2+t+1，3+，即最大值为3+，最小值为.当x0，时，则t1，此时y的最大值是3+，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】 已知sin（x）cos（x）=，求cos4x的值.剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.解：由已知得sin（x）cos（x）=，cos2（x）=.sin2x=cos（2x）=2cos2（x）1=.cos4x=12sin22x=1=.【例
4、3】 已知为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2sincos=，即sin=，cos=.此时k+k+.cos+sin=0，又sincos=0，cos0，sin0.为第三象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0.sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.评述：由三角函数值判断的范围是关键.闯关训练夯实基础1.已知f（x）=，当（，）时，f（sin2）f（sin2）可化简为A.2sinB.2cosC.2sinD.2cos解析：f（sin2）f（sin2）=sincossin+cos.（，）
5、，1sincos0.cossin0，cos+sin0.原式=cossin+cos+sin=2cos.答案：D2.（2005年春季上海，14）在ABC中，若=，则ABC是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由=，得=.又=，=.=.sinAcosB=cosAsinB，sin（AB）=0，A=B.同理B=C.ABC是等边三角形.答案：B3.若8cos（+）cos（）=1，则sin4+cos4=_.解析：由已知得8sin（）cos（）=1，4sin（2）=1.cos2=.sin4+cos4=（sin2+cos2）22sin2cos2=1sin22=1（1cos22）=1
6、（1）=1=.答案：4.若tanx=，则=_.解析：原式=23.答案：235.化简.解：原式= =tan.6.（2004年江苏，17）已知0，tan+cot=，求sin（）的值.解：由已知tan+cot=，得sin=.0，cos=.从而sin（）=sincoscossin=（43）.培养能力7.已知f（x）=2asin2x2asinx+a+b的定义域是0，值域是5，1，求a、b的值.解：令sinx=t，x0，t0，1，f（x）=g（t）=2at22at+a+b=2a（t）2+b.当a0时，则解之得a=6，b=5.当a0时，则解之得a=6，b=1.8.（2004年湖北，17）已知6sin2+si
7、ncos2cos2=0，），求sin（2+）的值.分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin+2cos）（2sincos）=03sin+2cos=0或2sincos=0.由已知条件可知cos0，所以，即（，）.于是tan0，tan=.sin（2+）=sin2cos+cos2sin=sincos+（cos2sin2）=+=+.将tan=代入上式得sin（2+）=+=+，即为所求.解法二：由已知条件可知cos0，则，原式可化为6tan2+tan2=0，即（3tan+2）（2tan1）=0.又（，）.tan0，tan=.下同解法一.探
8、究创新9.将一块圆心角为120，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.解：对图甲，设MOA=，则S1=200sin2.当=45时，（S1）max=200 cm2.对图乙，设MOA=，则S2=cos（260）cos60.当=30时，（S2）max= cm2.200，用乙种方法好.思悟小结1.化简要求：（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数尽量少.（3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数.（5）尽量使被开方数不含三角函数.2.常用方法：（1）直接应用公式.
9、（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如coscos2cos22cos2n的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n+1sin，应用二倍角正弦公式即可.教师下载中心教学点睛1.公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆.2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率.3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一.拓展题例【例1】 若sincos=，求cossin的取值范围.解：令t=cossin，则t=sin2sin2.t=sin2sin2，.【例2】 （2004年东北三校高三第一次联考题）已知a=（cosx，sinx），b=（cos，sin），x0，.（1）求ab及|a+b|；（2）若f（x）=ab2|a+b|的最小值是，求的值.解：（1）ab=cosxcossinxsin=cos2x.|a+b|=2=2cosx（x0，）.（2）f（x）=cos2x4cosx=2（cosx）2122.x0，cosx0，1.当0，cosx=0时，f（x）min=1，矛盾.当01，cosx=时，f（x）min=122，由122=，得=.当1，cosx=1时，f（x）min=14，由14=，得=1，矛盾.综上，=为所求.