1、2021年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|1x2，By|yx2，则AB（）A0，2）B（0，2）C（1，2）D2复数z，则其共轭复数（）A1iB1+iC1iD1+i3在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A随着车流密度增大，车流速度增大B随着车流密度增大，交通流量增大C随着车流密度增大，交通流量先
2、减小，后增大D随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小4已知平面向量，满足|，|1，|+|，则|2|（）AB5CD75若x，y满足约束条件，则z的取值范围是（）AB0，1CD6已知Sn为等差数列an的前n项和，若a215，S565，则a1+a4（）A24B26C28D307“m5”是“双曲线C：1的虚轴长为2”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，已知AA14，AB2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BEBB1，CFCC1，则（）AD1EAF，且直线D1E，AF是相交直线BD1EAF，且直线D1E，
3、AF是异面直线CD1EAF，且直线D1E，AF是异面直线DD1EAF，且直线D1E，AF是相交直线9已知f（x）2sin（x）（0）满足f（+x）+f（x）0，则的取值不可能是（）A4B6C8D1210函数ysinx的图象大致是（）ABCD11已知在RtABC中，斜边AB2，BC1，若将RtABC沿斜边AB上的中线CD折起，使平面ACD平面BCD，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）ABCD12若asinabsinbb2a21，则（）AabBabC|a|b|D|a|b|二、填空题（每小题5分）.13（x+1）（x1）6展开式中x3项的系数为 14已知曲线yx3+ax+b+1在x0处的切线方程
4、为y3x2，则a+b 15已知Sn为正项等比数列an的前n项和，若a2a49，2S2a3+a4，则a7 16关于曲线C：3x2+2xy+3y21有如下四个命题：曲线C关于原点对称；直线x1与曲线C有公共点；曲线C上任一点的纵坐标的范围是，；曲线C上任一点与原点距离的范围是，其中所有真命题的序号是 （填上所有正确的序号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1：3，为了
5、调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在0，60范围内，且规定分数在40分及以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”（）将下面的22列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200（）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：K2，其中na+b+c+dP（
6、K2k0）0.150.100.05k02.0722.7063.84118在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A+B）+2cos2（）求角C的大小；（）若a1，c，（0），且ACD的面积为2，求的值19在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为BC，AB1的中点（）证明：MN平面ACC1A1；（）若ABACAA1，BC2，且A1在底面ABC上的正投影恰为点M，求二面角NBCC1的正弦值20已知函数f（x）lnxax+a，且f（x）0对x0恒成立（）求a的值；（）若关于x的方程mf（x）xex+m有两个实根，求实数m的取值范围21从抛物线y24x上各点向x轴作垂线段，记垂线段
7、中点的轨迹为曲线P（）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；（）过点M（2，0）的直线l交曲线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交曲线P于两点C、D，探究是否存在直线l使A、B、C、D四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，圆C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为2sin，记圆C1与圆C2异于原点的交点为A（）求点A的极坐标；（）若过点A的直线l分别交圆C1和C2于M、N两点，求|
8、MN|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+6|x22x+2|（）求不等式f（x）6的解集；（）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c+，求证：参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|1x2，By|yx2，则AB（）A0，2）B（0，2）C（1，2）D解：合Ax|1x2，By|yx2，xA0，2，则AB0，2），故选：A2复数z，则其共轭复数（）A1iB1+iC1iD1+i解：化简可得复数z1+i，复数z的共轭复数为：1i故选：A3在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）
9、：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A随着车流密度增大，车流速度增大B随着车流密度增大，交通流量增大C随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D4已知平面向量，满足|，|1，|+|，则|2|（）AB5CD7解：平面向量，满足|，|1，|+|，可得，可得0，则|2|故选：C5若x，y满足约束条件，
10、则z的取值范围是（）AB0，1CD解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，1），z的几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率，kOB1，z的取值范围是，1故选：C6已知Sn为等差数列an的前n项和，若a215，S565，则a1+a4（）A24B26C28D30解：由题意S55a365，a313，所以a1+a4a2+a328，故选：C7“m5”是“双曲线C：1的虚轴长为2”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当m5时，双曲线为1，b1，虚轴长为2b2，充分性成立，若双曲线为+1虚轴长为2，当焦点在x轴上时，则，m5，当焦点在
11、y轴上时，则，m1，m5或m1，必要性不成立，m5是双曲线+1虚轴长为2的充分不必要条件故选：A8如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，已知AA14，AB2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BEBB1，CFCC1，则（）AD1EAF，且直线D1E，AF是相交直线BD1EAF，且直线D1E，AF是异面直线CD1EAF，且直线D1E，AF是异面直线DD1EAF，且直线D1E，AF是相交直线解：由直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，AA14，AB2，BEBB1，CFCC1，可得B1E3，D1E，CF2，AF2，AFD1E，连接BD，B1D1，设直线AF与平面BDD1B
12、1交于H，可得H不在直线D1E上，且H平面BDD1E1，直线D1E平面BDD1B1，又AF平面BDD1B1，所以直线AF与D1E为异面直线，故选：B9已知f（x）2sin（x）（0）满足f（+x）+f（x）0，则的取值不可能是（）A4B6C8D12解：因为f（+x）+f（x）0，所以f（x）关于（，0）对称，所以k，kZ，所以4k，kZ，当k1时，4，选项A满足题意；当k2时，8，选项C满足题意当k3时，12，选项D满足题意；故的取值不可能是6故选：B10函数ysinx的图象大致是（）ABCD解：函数ysinx是奇函数，排除D，函数ycosx+，x（0，）时，y0，函数是增函数，排除A，并且x
13、时，y10，排除C，故选：B11已知在RtABC中，斜边AB2，BC1，若将RtABC沿斜边AB上的中线CD折起，使平面ACD平面BCD，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）ABCD解：如图，设点E为BCD外接圆的圆心，则三棱锥ABCD外接球的球心一定在过点E且与平面BCD垂直的直线上，不妨设点O为外接圆的圆心，则OE平面BCD，且OAOBOCODR，过点O作OM平面ACD，则点M为ACD外接圆的圆心，在ACD中，由余弦定理有，延长BE交CD于F，连接MF，BCCDBD1，BCD为边长为1的正三角形，F为CD中点，由于平面ACD平面BCD，故四边形OMFE为矩形，则，在RtAOM中，AM2+
14、OM2OA2，即，解得，三棱锥ABCD的外接球的表面积为故选：A12若asinabsinbb2a21，则（）AabBabC|a|b|D|a|b|解：由于asinabsinbb2a21，所以asina+a2bsinb+b21，设f（x）xsinx+x2x（x+sinx），由于函数f（x）满足f（x）f（x），故函数为偶函数，所以当x0时，f（x）（x+sinx）+x（1+cosx），设g（x）x+sinx，所以g（x）1+cosx0，而g（0）0，所以f（x）0，所以f（a）f（b）1，故f（a）f（b），由于函数为偶函数，故|a|b|故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把
15、答案填在答题纸上）。13（x+1）（x1）6展开式中x3项的系数为5解：由题意可得展开式中含x3项为x+1（1520）x35x3，故答案为：514已知曲线yx3+ax+b+1在x0处的切线方程为y3x2，则a+b6解：yx3+ax+b+1的导数为y3x2+a，由曲线yx3+ax+b+1在x0处的切线方程为y3x2，可得a3，b+12，解得a3，b3，则a+b6故答案为：615已知Sn为正项等比数列an的前n项和，若a2a49，2S2a3+a4，则a712解：根据题意，等比数列an中，设其公比为q，则q0，若a2a49，则a33，若2S2a3+a4，即2（a1+a2）a3+a4，则q22，则a7
16、a3q432212，故答案为：1216关于曲线C：3x2+2xy+3y21有如下四个命题：曲线C关于原点对称；直线x1与曲线C有公共点；曲线C上任一点的纵坐标的范围是，；曲线C上任一点与原点距离的范围是，其中所有真命题的序号是（填上所有正确的序号）解：关于曲线C：3x2+2xy+3y21有如下四个命题：对于：把点（x，y）代入曲线C：3x2+2xy+3y21仍然成立，故正确；对于：曲线C：3x2+2xy+3y21可以看做关于x或y的一元二次方程，故（2y）243（3y21）0，解得，同理（2x）243（3x21）0，解得，故错误，对于：在第一象限内：2xy13（x2+y2）x2+y2，故4（x
17、2+y2）1，即，在第二象限内：2xy3（x2+y2）1x2+y2，整理得，即，所以曲线C上任一点与原点距离的范围是，故正确；故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1：3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在0，60范围内，且规定分数在
18、40分及以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”（）将下面的22列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200（）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.05k02.0722.7063.841解：（）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1：3，且样本容量为200，所以非城镇学生人数为5
19、0，城镇学生人数为150，故城镇学生优良人数为15011535，又因为优良学生的人数为（0.005+0.02）1020050，所以非城镇优良学生人数为503515，则非城镇不优良学生人数为501535，类别非城镇学生城镇学生合计优良153550不优良35115150合计50150200计算K20.8892.706，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关（）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为p，记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X，则XB（3，），所以E（X）np3，故成绩“优良”人数的期望值为18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A+B
20、）+2cos2（）求角C的大小；（）若a1，c，（0），且ACD的面积为2，求的值解：（）因为sin（A+B）+2cos2，所以sinC（2cos21），即sinCcosC，即tanC，因为C（0，），所以C（）在ABC中，因为a1，c，C，由余弦定理可得b2b120，解得b4，或3（舍去），因为SABC41sinSADC2，所以点D在BC延长线上，在ACD中，AC4，ACD，则SACDACCDsinACD2，所以CD2，即BDBC+CD3，所以319在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为BC，AB1的中点（）证明：MN平面ACC1A1；（）若ABACAA1，BC2，且A1在底面ABC上的
21、正投影恰为点M，求二面角NBCC1的正弦值解：（）证明：如图，连接NA1，A1C，因为N为AB1的中点，且四边形ABB1A1是平行四边形，所以N为A1B的中点，又M为BC的中点，所以MNA1C，又因为MN平面ACC1A1，且CA1平面ACC1A1，所以MNACC1A1；（）由（）可得二面角NBCC1即为二面角A1BCC1，如图，连接AM，A1M，由A1在底面ABC上的正投影恰为M，所以A1M平面ABC，因此A1MBC，A1MAM，又因为ABAC，且M为BC的中点，故BCAM，即线段AM，BC，MA1两两垂直，以M为坐标原点，AM，BC，MA1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐
22、标系Mxyz，则M（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），对于平面A1BC，因为AM平面A1BC，且N平面A1BC，所以平面NBC的一个法向量为（2，0，0），设平面BCC1B1的法向量为（x，y，z），因为（0，2，0），（2，0，1），由，可得，取x1，则（1，0，2），设二面角NBCC1的平面角为，则|cos|，因此二面角NBCC1的正弦值为20已知函数f（x）lnxax+a，且f（x）0对x0恒成立（）求a的值；（）若关于x的方程mf（x）xex+m有两个实根，求实数m的取值范围解：（）因为f（x）0，且f（1）0，故x1是函数f（x）
23、的极值点，因为f（x）a，所以f（1）1a0，故a1，又因为a1时，f（x）lnxx+1，且f（x）1，故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故f（x）f（1）0，故a1（）因为mf（x）xex+m，则m（lnxx）xex，设h（x）lnxx，则h（x）1，令h（x）0，可得0x1，令h（x）0，可得x1，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以h（x）h（1）10，所以lnxx，所以m，设g（x），则g（x），因为lnxx，所以lnxxx+1，即lnxx10，令g（x）0，可得0x1，令g（x）0，可得x1，故函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（
24、1，+）上单调递增，所以g（x）g（1），又当x无限增大或无限接近0时，g（x）都趋近于0，故g（x）0，因为关于x的方程mf（x）xex+m有两个实根，所以实数m的取值范围是（，0）21从抛物线y24x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P（）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；（）过点M（2，0）的直线l交曲线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交曲线P于两点C、D，探究是否存在直线l使A、B、C、D四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由解：（）设抛物线y24x上的任意一点为（x0，y0），垂线段的中点为（x，y），则，即，代入抛物线方程，可得（2y）24x，即y
25、2x故曲线P的方程为y2x，曲线P是焦点为（，0）的抛物线；（）设直线l的方程为xty+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2ty20则y1+y2t，y1y22，则|AB|，且线段AB中点的纵坐标为，则xty+2线段AB的中点坐标为M（），直线CD为线段AB的垂直平分线，可设直线CD的方程为x，则，故m，联立，得2ty2+2yt（t2+5）0 设C（x3，y3），D（x4，y4），则，故|CD|，线段CD的中点N（，），假设A、B、C、D四点共圆，则弦AB的中垂线与弦CD的中垂线的交点必为圆心，CD为线段AB的中垂线，则可得弦CD的中点N必为圆心，则|AN|CD|，在RtAMN
26、中，|AN|2|AM|2+|MN|2，则，故，即，解得t21，即t1存在直线l，使A、B、C、D四点共圆，且圆心为弦CD的中点N，圆N的方程为或选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，圆C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为2sin，记圆C1与圆C2异于原点的交点为A（）求点A的极坐标；（）若过点A的直线l分别交圆C1和C2于M、N两点，求|MN|的最大值解：（），圆C1的参数方程为（为参数），转换为普通方程为；根据，转换为极坐标方程
27、为，圆C2的极坐标方程为2sin，由，解得，所以，故A（）（kZ）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），代入圆C1的普通方程为；故，所以，将直线的参数方程为（t为参数），代入圆C2的普通方程x2+y22y0，得到，所以，建立方程组，解得，所以|MN|tMtN|，当时，|MN|的最大值为4选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+6|x22x+2|（）求不等式f（x）6的解集；（）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c+，求证：解：（）x22x+2（x1）2+10，f（x）|x+6|x2+2x2，不等式f（x）6等价于|x+6|x2+2x26，即或，解得1x2或，不等式f（x）6的解集为1，2；（）证明：由（）可知，当时，又a，b，c为正实数，a+b+c4，当且仅当时等号成立，原命题得证