1、第八节 二项分布、正态分布及其应用 1.条件概率及其性质(1)定义 设A,B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)=_为在 _发生的条件下，_发生的条件概率.(2)性质 条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1；如果B,C是两个互斥事件，则P(BC|A)=_.事件A 事件B P(B|A)+P(C|A)P(A)P AB2.事件的相互独立性(1)定义：设A,B是两个事件，若P(AB)=_，则称事件A 与事件B相互独立.(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与_，_与B,与_也 都相互独立.P(A)P(B)BABA3.独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定 义 在_条件下重复做
2、的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事 件A发生的概率为p，此时称随机 变量X服从二项分布，记作 _，并称p为_概率 相同 XB(n,p)成功 独立重复试验 二项分布 计 算公式 用Ai(i=1,2,n)表 示第i次试验结果，则 P(A1A2A3An)=_ _ 在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=_,k=0,1,2,n P(A1)P(A2)P(A3)P(An)n kkknC p1 p4.正态分布(1)正态曲线的定义：函数,(x)=_,其中实 数和(0)为参数，称,(x)的图象为正态分布密度 曲线，简称正态曲线
3、.(2)正态分布的定义及表示：如果对于任何实数a,b(ab)，随机变量X满足P(aXb)=则称随机变量X服从正态分布，记作N(,2).22x21e,x(,)2 bx dxa，(3)正态曲线的特点：曲线位于x轴的_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在_处达到峰值 ；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线随着的变化而沿着_轴平移；当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“_”，表示总体的分布越_；越大，曲线越“_”，表示总体的分布越_.上方 x=x=121 x 瘦高 集中 矮胖 分散(4)正态分布的三个常用数据 P(-X+)=_;P(-2X+2)=_;P(-3X+3)=_.0.
4、682 6 0.954 4 0.997 4 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.()(2)相互独立事件就是互斥事件.()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(BA)表示事件A，B同时发生的概率.()(6)在正态分布函数,(x)=中是正态 分布的期望值，是正态分布的标准差.()22x21e2 【解析】(1)错误.当A,B为相互独立事件时P(B|A
5、)=P(B).因此该说法错误.(2)错误.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.(3)错误.因为只有两个事件是相互独立事件时，公式P(AB)=P(A)P(B)才成立.(4)错误.二项分布是一个概率分布，是一个用公式P(X=k)=k=0，1，2，n表示的概率分布，其公式相 当于二项展开式的通项公式,其中的a=1-p,b=p.(5)正确.由各式子的意义可知，该说法正确.(6)正确.由正态分布函数可知，是正态分布的期望值，是 正态分布的标准差.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)n kkknC p
6、1 p，1某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 那么播下3粒 种子恰有2粒发芽的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.45，121251612548125961252234448PC1.55125（）（）2下列函数是正态分布函数的是()(A)f(x)，(0)都是实数(B)f(x)(C)f(x)(D)f(x)【解析】选B.A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于 零而C中的函数无对称轴，D中的函数图象在x轴下方，所以 选B.22x2 1e2，2x22e2x41e2 22x21e23.国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有
7、1 人去北京旅游的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 因此，他们不去北京旅游的概率分别为 所以，至少有1 人去北京旅游的概率为P 1 1 1.3 4 5，596035121601 1 1.3 4 5，2 3 43 4 5，23431.34554.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为 在事 件A发生的条件下，事件B发生的概率为 则事件A发生的概率 为_.【解析】由题意知，P(AB)P(B|A)P(A)答案:310，12，310，12，3P AB310.1P B|A52355.已知随机变量X服从二项分布XB(6，)，则P(X2)等于_.【
8、解析】P(X2)答案:1322461180C1.33243（）（）80243考向 1 条件概率、相互独立事件的概率【典例1】(1)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A“取 到的两个数之和为偶数”，事件B“取到的两个数均为偶 数”，则P(B|A)()(A)(B)(C)(D)(2)甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概 率分别为 和 两个零件是否加工为一等品相互独立，则这 两个零件中恰有一个一等品的概率为_ 181425122334，【思路点拨】(1)可先求出P(A)，P(AB)，利用条件概率公式即可得出结果.(2)注意两个零件是否为一等品是相互独立的，利用相互独立事件的概率
9、公式求解即可.【规范解答】(1)选B.P(A)P(AB)由条件概率计算公式，得 P(B|A)223225CC4,C102225C1.C10 1P AB110.4P A410(2)设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)P(B)所以这两个零件中恰有一个一等品的概 率为P(A )P(B)P(A)P()P()P(B)(1 )(1 ).答案:23，34，BABA23342334512512【互动探究】若例题(1)条件不变，则P(A|B)是多少？【解析】因为P(B)P(AB)由条件概率计算公式，得P(A|B)2225C1C10，2225C1.C10 1P AB
10、101.1P B10【拓展提升】1.条件概率的两种求解方法(1)定义法:先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)=求P(B|A).(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基 本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得 P(B|A)=P ABP(A)n AB.n A2.判断相互独立事件的三种常用方法(1)利用定义:事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与 ,与B,与 也都相互独立.(3)具体背景下:有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.BAAB【提醒】在应用
11、相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解.【变式备选】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能 正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰.已知某选手 能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 且各 轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率.(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的 分布列.4 3 2,5 5 5，【解析】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3)，则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，该选手被 淘汰的概率 453525 111212312PP AA A
12、A A AP AP AP A 123142433101P AP AP A.555555125(2)的可能值为1,2,3，P(=1)=P()=P(=2)=P(=3)=的分布列为 1A1,51212428P(A A)P(A)P(A)5525，12124312P(A A)P(A)P(A).5525 1 2 3 P 158251225考向 2 独立重复试验与二项分布【典例2】(1)位于直角坐标原点的一个质点P按下面规则移 动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向 左移动的概率为 向右移动的概率为 则质点P移动五次后 位于点(1,0)的概率是()(A)(B)(C)(D)13，23，4243
13、82434024380243(2)设不等式组 确定的平面区域为U，不等式组 确定的平面区域为V.定义坐标为整数的点为“整点”在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；在区域U内任取3个点(不一定为“整点”)，记此3个点在区 域V内的个数为X，求X的分布列.2x2,0y2 xy20,xy20,y0 【思路点拨】(1)移动5次可转化为5次独立重复试验，可将其中一个方向作为成功概率即可求解.(2)先找出各个区域内的整数点，然后求概率；任取3个点可转化为3次独立重复试验，用公式即可解决.【规范解答】(1)选D.依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次
14、向左移动，另三次向右移 动，因此所求的概率等于 22351280C.33243（）（）(2)如图，由题意，区域U 内共有15个整点，区域V内共 有9个整点，设所取3个整点 中恰有2个整点在区域V内的 概率为P(V),则P(V)2196315C CC216.455区域U的面积为8，区域V的面积为4，在区域U内任取一 点，该点在区域V内的概率为 X的取值为0,1,2,3.41.820033112322133303111P X0C228113P X 1C()228113P X2C()()228111P X3C().228 （）（），（），（）X的分布列为 X 0 1 2 3 P 18381838【拓
15、展提升】1.独立重复试验的概率步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征及条件，判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.(3)计算：就每个事件依据n次重复试验的概率公式求解.2.二项分布满足的条件(1)每次试验中事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.【变式训练】设随机变量B(2，p)，B(4，p)，若 P(1)则P(2)的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.因为随机变量B(2，p)，B(4，p)，又 P(1)1P(0)1(1p)
16、2 解得p 所以 B(4，)，则P(2)1P(0)P(1)1(1 )4 59，328111276581168159，13，13131341111C(1)().3327【备选考向】正态分布及其应用【典例】(1)正态分布N(1,9)在区间(2,3)和(1,0)上取值的概率分别为m，n，则()(A)mn (B)mn(C)mn (D)不确定(2)(2012新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1
17、000小时的概率为_【思路点拨】(1)由正态分布N(1,9)，结合正态分布的对称性即可求解.(2)由三个元件的使用寿命服从正态分布，可计算出各个元件使用寿命超过1 000小时的概率，再利用各个元件之间是相互独立的即可得出结论.【规范解答】(1)选C.正态分布N(1,9)的曲线关于x1对称，区间(2,3)与(1,0)到对称轴距离相等，故mn.(2)方法一：设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 为P(A)因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概 率分别为 因为 所以P(A)1P()123111PPP.222，1233P
18、A P P PP 1111522228 ，A3.8方法二：设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 P(A)因为三个元件的使用寿命均服从正态分布 N(1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概 率分别为 故P(A)P1P2P3 答案:123111PPP.222，123123P P PP P P111111111311.2222222228（）（）38【拓展提升】关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法(1)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-34)=0.2,P(X4)-P(X2)=(1-0.2-0.2)=0.3.答案:0.3 121212【满分指导】解答
19、互斥事件、相互独立事件综合题【典例】(12分)(2012安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题.若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量(1)求Xn2的概率.(2)设mn，求X的分布列和均值(数学期望)【思路点拨】已 知 条 件 条 件 分 析 若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束
20、使用A类型试题后，试题库中增加一道A类型试题和一道B类型试题 若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束 使用B类型试题后，试题库中的试题不增也不减 以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量 X表示两次调题后，试题库中A类型试题的个数【规范解答】以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i1,2.(1)P(Xn2)P(A1A2)4分(2)X的可能取值为n，n1，n2.P(Xn)6分 P(Xn1)8分 n n1nn1.mn mn2mnmn212nn1P A Ann nn4，1212P A AP(A A)nn1nn1nn nn2nn nn2，P(Xn2)P(A1A2)从而X
21、的分布列是 10分 E(X)12分 nn11nn nn24 ，X n n1 n2 P 141214111nn 1n2n 1.424【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013云浮模拟)在三次独立重复试验中，事件A在每次试 验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为 则事件A恰好发生一次的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.设试验成功的概率为p，依题设可知：解得：p=，所以，恰好发生一次的概率为 6364，1434964276436311 p,64 341123339C1.4464（）（）2(2013湛江模拟)若随机变量XN(1，4)，P(X0)=m,则 P(0X2)=()
22、(A)(B)(C)1-2m (D)1-m【解析】选C.由对称性：P(X2)=P(X0)=m,P(0X2)=1-P(X0)-P(X2)=1-m-m=1-2m,故选C.12m21 m23.(2013佛山模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样 本空间为S1,2,3,4,5,6,令事件A2,3,5,事件B 1,2,4,5,6,则P(A|B)的值为_ 【解析】P(B)P(AB)答案:56，2163，1P AB23P A|B.5P B56 251.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白
23、球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)P(B|A1)事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生 有关 25；511；【解析】P(B)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3)故错 P(B|A1)故正确 P(A1)，P(B)P(A1B)P(A1B)P(A1)P(B)，故事件B与事件A1不是相互独立事件，故错误 111111553424111111111011101110CCCCCC9CCCCCC2
24、2，15111C5.C1112922，522，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互 斥，因此正确 由知P(B)是确定的值，故错误 答案:9222在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题.规定每位考 生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性 均为(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率.(2)设这4名考生中选做第22题的考生个数为，求的分布列 及数学期望.1.2【解析】(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙 选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ”，且事件A，B相互独立，P(AB )=P(A)P(B)+P()P()ABABAB11111(1)1.22222（）(2)随机变量可能取值为0,1,2,3,4，且B(4,).P(=k)=的分布列为：12kk4 k411C()(1)22k441C()k0,1,2,3,4,2 11311E012342.1648416 0 1 2 3 4 P 116143811614