1、第三章 概率33 几何概型33.2 均匀随机数的产生内 容 标 准学 科 素 养1.能用模拟方法估计事件的概率.2.设计科学的试验来估计概率.提升数学运算应用直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 均匀随机数的产生预习教材 P137140，思考并完成以下问题在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能，我们又如何产生随机数呢？(1)几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？提示：含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型特
2、点：可能出现的结果有无限多个；每个结果发生的可能性相等(2)我们常用的是0，1上的均匀随机数，如何利用计算器产生 01 之间的均匀随机数？如何利用计算机产生 01 之间的均匀随机数？提示：用计算器产生 01 之间的均匀随机数的方法见教材；用计算机的方法如下：用 Excel 演示选定 A1 格，键入“rand()”，按 Enter 键，则在此格中的数是随机产生的0，1上的均匀随机数；选定 A1 格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如 A2A100，点击粘贴，则在 A1A100 的数都是0，1上的均匀随机数这样我们就很快就得到了 100 个 01 之间的均匀随机数，相当于做了 100 次随机
3、试验.知识梳理 1.均匀随机数的产生(1)计算器上产生0，1的均匀随机数的函数是_函数(2)Excel 软件产生0，1区间上均匀随机数的函数为“_”2用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)_的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果(2)_的方法：用 Excel 的软件产生0，1区间上均匀随机数进行模拟，注意操作步骤RAND rand()试验模拟计算机模拟自我检测1在区间(10，20内的所有实数中，随机取一个实数 a，则这个实数 a13 的概率是()A.13 B.17C.310D.710解析：a(10，13)，P(a13)13102010 310.答案：C2在边长为 2 的正方
4、形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入 100 粒豆子，恰有 60 粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为_解析：设阴影区域的面积为 S，则S4 60100，S125.答案：125探究一 用随机模拟法估计长度型的概率例 1 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率有多大？解析 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A.法一：(1)利用计算器或计算机产生 n 个 01 之间的均匀随机数，xRAND；(2)作伸缩变换：yx*(50)，转化为0，5上的均匀随机数；(3)统计出2，3内均匀随机数的个数
5、m；(4)则概率 P(A)的近似值为mn.法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度0，5(这里 5 和 0 重合)；(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在2，3内(表示剪断绳子位置在2，3范围内)的次数 m 及试验总次数 n；(3)则概率 P(A)的近似值为mn.方法技巧 用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围法一用计算器或计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数跟踪探究 1.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生，并且这 50 名学生早上到校先后的可能性是相同的设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕
6、比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校解析：记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，aRAND，bRAND，cRAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；统计出试验总次数 N 及其中满足 bc 的次数 N1，满足 bca 的次数 N2；计算频率 fn(A)N1N，fn(B)N2N，即分别为事件 A，B 的概率的近似值探究二 用随机模拟法估计面积型的概率阅读教材 P137 例 2假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：307：30 之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作
7、的时间在早上 7：008：00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少？例 2 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为 5 m，2 m，1 m若着陆点在圆环 B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率解析 设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”(1)利用计算器或计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1RAND，b
8、1RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8，8与7，7上的均匀随机数(3)统计满足8a8，7b7 的点(a，b)的个数 N.满足 1a2b24 的点(a，b)的个数 N1.(4)计算频率 fn(A)N1N，即为所求概率的近似值方法技巧 一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的 x，y)来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型跟踪探究 2.如图在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，利用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率解析：记事件 A所
9、投点落入小正方形内(1)用计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND.(2)经过伸缩和平移变换，aa1*31.5，bb1*31.5，得1.5，1.5上的均匀随机数(3)统计落入大正方形内点数 N(即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内的点数 N1(即满足1a1 且1b1 的点(a，b)数)(4)计算频率 fn(A)N1N，即为概率 P(A)的近似值探究三 利用随机模拟试验估计不规则图形的面积例 3 如图所示，曲线 yx2 与 y 轴、直线 y1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)解析 法一：我们可以向正方形区域
10、内随机地撒一把豆子，数出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落在区域A内的豆子数落在正方形内的豆子数 区域A的面积正方形的面积，即可求区域 A 面积的近似值例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆子数为 700，则区域 A 的面积 S 7001 0000.7.法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组 01 内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标如果一个点的坐标满足 yx2，就表示这个点落在区域 A 内第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方形内的随机点的个数 N，可求得区域 A 的面积 SMN.方法
11、技巧 1.利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率2随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量跟踪探究 3.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(yx3 和 x2 以及 x 轴所围成的部分)的面积解析：(1)利用计算器或计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；(2)经过伸缩变换，a2a1，b8b1；(3)统计出试验总次数 N 和落在阴影部分(满足 ba3)点(a，b)的个数 N1；(4)计算频率N1N 就
12、是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分的面积为 S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为 S16，所以S16N1N，所以 S16N1N，即为阴影部分面积的近似值课后小结随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数如长度、角度型只用一组，面积型需要两组(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围(3)由事件 A 发生的条件确定随机数所满足的关系式素养培优对随机变换公式理解不清致误用计算器或计算机产生 20 个 01 之间的随机数 x，但是基本事件都在区间1，3上，则需要经过的变换是()Ay3x1 By3x1Cy4x1 Dy4x1易错分析(1)不考虑区间长度，因区间右端值为 3，而 x 变为 3x，导致选 A.(2)在平移变换中，变错方向而写成 4x1，导致选 C.自我纠正 因为随机数 x0，1，而基本事件都在1，3上，其区间长度为 4，所以首先把 x 变为 4x，又因区间左端值为1，所以 4x 再变为 4x1，故变换公式为 y4x1.课时 跟踪训练