1、试卷第 1页，共 4页 2020 级高二上学期数学单元教学评价试卷时长：120 分钟分值：150 分一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1已知1,1,0at，2,bt t，则 barr的最小值是（）A1B2C3D52若直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为，则能使 l的是（）A1,0,0a，2,0,0 B1,3,5a，1,0,1 C0,2,1a，1,0,1 D1,1,3a，0,3,1 3正方体1111ABCDA B C D中，=，则点1与平面1A BD 的距离为（）A 12B 23C 2 33D624如图，在三棱锥 SABC中，点 E，F 分别是SA，BC 的中点，点G 在线段 EF
2、 上，且满足12EGGF，若 SAa，SBb，SCc，则 SG（）A 111326abcB 111366abcC 111632abcD 111362abc5在如图所示的四棱锥 PABCD中，/ABCD，23PAD，PAAB，2PAAD，122ABCD，且 BCBD，则直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为（）A105B55C25D1010试卷第 2页，共 4页6.已知点3(2,)A，(3,2)B 若直线:10l mxym 与线段 AB 相交，则实数 m 的取值范围是（）A3,4,)4 B3,44C 1,5D34,47.“1a ”是“直线2130axay与直线210axay 互相垂直”的（
3、）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8.已知,P Q 分别是直线:20l xy和圆22:1C xy 上的动点，圆C 与 x 轴正半轴交于点(1,0)A，则 PAPQ的最小值为（）A2B 2C51D210129.已知直线210kxyk 恒过定点 A，点 A 也在直线20mxny上，其中m，n 均为正数，则 12mn的最小值为（）A2B4C8D610.已知动点 P 在正方体1111ABCDA B C D的对角线1BD(不含端点)上.设11D PD B，若APC为钝角，则实数 的取值范围为（）A10,3B10,2C 1,13D1,1211.已知直三棱柱 ABCABC
4、的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱AA上的点（不含端点）记直线 PB 与直线 AC 所成的角为，直线 PB 与直线 BC 所成的角为，二面角 PBBC 的平面角为，则（）ABCD12.如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AEBF AC与 EF 交于 G，EF 在 AB 与CD 之间滑动，但与 AB 和CD 均不重合在 EF 任一确定位置，将四边形 EFCD 沿直线 EF 折起，使平面 EFCD 平面 ABFE，则下列选项中错误的是（）AAGC的角度不会发生变化B二面角GACB先变大后变小C AC 与平面 ABFG 所成的角变小D AC 与 EF
5、所成的角先变小后变大试卷第 3页，共 4页二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.空间直角坐标系中点2,1,31,2,1AB、，点 P 在 x 轴上，且 PAPB，则点 P的坐标为_.14.方程220 xyxym表示一个圆，则 m 的取值范围是_15.如图，在 120的二面角l 中，,Al Bl ACBD且,ACAB BDAB，垂足分别为 A，B，已知6ACABBD，则线段CD 的长为_16.在正方体1111ABCDA B C D中，已知点 P 在直线1AB 上运动，则下列四个命题中：三棱锥1DC BP的体积不变；1DPD C；当 P 为1AB 中点时，二面角11PACC的余弦值为33
6、；若正方体的棱长为 2，则 DPBP的最小值为84 2；其中说法正确的是_（写出所有说法正确的编号）三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）17.已知直线 12240l kxyk:，直线2224480lk xyk:.（1）若 12ll，求 k；（2）若 12ll，求 1l 与 2l 的交点 P 的坐标.18.如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，1ABAD，12AA，1160A ADA AB ，90DAB，M 为11AC 与11B D 的交点若 ABa，ADb，1AAc（1）求 BM 的长（2）求 BM 与 AC 所成角的余弦值试卷第 4页
7、，共 4页19.已知圆经过点(1,0)A和(1,2)B ，且圆心在直线:10l xy 上.（1）求圆的标准方程；（2）若线段CD 的端点 D 的坐标是4,3，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点 M 的轨迹方程.20.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，/ABCD，且2CD，1AB ，2 2BC，1PA ，ABBC，N 为 PD 的中点.（1）求证：/AN平面 PBC；（2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；21.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，2PAAB，60BAD.（1）求证：直线 BD 平面 PAC；（2）设
8、点 M 在线段 PC 上，且二面角CMBA的余弦值为 57，求点 M 到底面 ABCD的距离.22.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB，AD 边分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合，如图所示将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC上（1）若折痕所在直线的斜率为 k，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k时，求折痕长的取值范围试卷第 1页，共 18页 2020 级高二上学期数学单元教学评价答案时长：120 分钟 分值：150 分一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1已知1,1,0at，2,bt t，则 barr的最小值是（
9、）A1B2C3D5解：1,1,0,2,atbt t(1,1,)bat tt2222(1)(1)32batttt当0t 时，barr取最小值2.故选：B2若直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为，则能使 l的是（）A1,0,0a，2,0,0 B1,3,5a，1,0,1 C0,2,1a，1,0,1 D1,1,3a，0,3,1 解：由题意得，若使 l，那么就要使 a，即0a .对于 A，20a ，故 A 错误；对于 B，10560a，故 B 错误；对于 C，10a ，故 C 错误；对于 D，0330a ，故 D 正确.故选：D.3正方体1111ABCDA B C D中，=，则点1与平面1A BD
10、 的距离为（）A 12B 23C 2 33D62解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz设正方体的棱长为 1，则0,0,0D，1 1,0,1A，1,1,0B，1 0,1,1C，1,0,0A，11,0,1BC，11,1,1AC，10,1,1A B，11,0,1A D，试卷第 2页，共 18页111 10AC A B ，111 10AC A D ，11ACA B，11ACA D又111A BA DA，1AC 平面1A BD，1AC 是平面1A BD 的一个法向量，1111 12 333BC ACACd，点1与平面1A BD 的距离为为 2 33故选：C4如图，在三棱锥 SAB
11、C中，点 E，F 分别是SA，BC 的中点，点G 在线段 EF 上，且满足12EGGF，若 SAa，SBb，SCc，则 SG（）A 111326abcB 111366abcC 111632abcD 111362abc解：1111()2323SGSEEGSAEFSAESSCCF 试卷第 3页，共 18页11112636SAASSCCB111()336SASCCSSB111366SASBSC111366abc.故选：B 5在如图所示的四棱锥 PABCD中，/ABCD，23PAD，PAAB，2PAAD，122ABCD，且 BCBD，则直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为（）A105B55C2
12、5D1010解：取CD 的中点 E 则 BECD因为/AB CD 且 ABDE所以四边形 ABED 是矩形，所以 ABAD因为 PAAB且 ADAPA，所以 AB 平面 PAD 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则(0,1,3)P，(0,2,0)D，(2,0,0)B，(2 2,2,0)C，所以(0,3,3)PD，(2,1,3)BP ，(2,2,0)BC 设平面 PBC 的法向量为,nx y z，则220230n BCxyn BPxyz ，取2x，得32,1,3n.设直线 PD 与平面 PBC 所成角为，则3 110s
13、in|cos,|5|10123PD nPD nPDn 试卷第 4页，共 18页故选：A6.已知点3(2,)A，(3,2)B 若直线:10l mxym 与线段 AB 相交，则实数 m 的取值范围是（）A3,4,)4 B3,44C 1,5D34,4解：设直线l 过定点(,)P x y，则直线:10l mxym 可写成(1)10m xy，令10,10,xy 解得1,1.xy直线l 必过定点(1,1)P3 142 1PAk ，2 133 14PBk 直线:10l mxym 与线段 AB 相交，由图象知，34m或4m ，解得34m 或4m，则实数 m 的取值范围是3,4,)4 故选：A7.“1a ”是“
14、直线2130axay与直线210axay 互相垂直”的（）试卷第 5页，共 18页A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：因为直线2130axay与直线210axay 互相垂直，所以(2)(21)0a aaa，所以0a 或1a .因为“1a ”可以推出“0a 或1a ”，“0a 或1a ”不能推出“1a ”，所以“1a ”是“直线2130axay与直线210axay 互相垂直”的充分非必要条件.故选：A8.已知,P Q 分别是直线:20l xy和圆22:1C xy 上的动点，圆C 与 x 轴正半轴交于点(1,0)A，则 PAPQ的最小值为A2B 2C51D21012
15、解：如图，圆22:1C xy 的圆心为0 0O(，)，半径1r .设点0(1)A，关于:20l xy的对称点为()B ab，则12022 11abba，解得2 1ab，即(21)B，.连接 BO，交直线:20l xy于点 P，交圆22:1C xy 于点Q，此时 PAPQ取得最小值为51BOr.故选 C.9.已知直线210kxyk 恒过定点 A，点 A 也在直线20mxny上，其中m，n 均为正数，则 12mn的最小值为（）A2B4C8D6试卷第 6页，共 18页解：已知直线210kxyk 整理得：12yk x，直线恒过定点 A，即2,1A.点 A 也在直线20mxny上，所以22mn，整理得：
16、12nm ，由于 m，n均为正数，则 12122211224222nnmnmmmnmnmnmn ,取等号时212nmnm，即121mn，故选：B.10.已知动点 P 在正方体1111ABCDA B C D的对角线1BD(不含端点)上.设11D PD B，若APC为钝角，则实数 的取值范围为（）A10,3B10,2C 1,13D1,12解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，用坐标法计算，利用APC不是平角，可得APC为钝角等价于cos0APC，即0PA PC，即可求出实数 的取值范围.试卷第 7页，共 18页设正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，则有1,0,0,1,1
17、,0,0,1,0,0,0,1ABCD1(1,1,1)D B，设1,D P，11,1,0,11,1PAPDD A ，11,0,1,1,1,1PCPDD C ，由图知APC不是平角，APC为钝角等价于cos0APC，0PA PC，21111 310，解得 113 的取值范围是 1,13故选：C.11.已知直三棱柱 ABCABC的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱AA上的点（不含端点）记直线 PB 与直线 AC 所成的角为，直线 PB 与直线 BC 所成的角为，二面角 PBBC 的平面角为，则（）ABCD解：设直三棱柱 ABCA B C 的棱长与底面边长为 2，如图，取 BC 中点O，
18、以OA、OB 所在直线分别为 x、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，试卷第 8页，共 18页则(3,0,0)A，(0,1,0)B，(0,1,0)C，(0,1,2)B，(3,0,)Pt(02)t，(3,1,)PBt ，(3,1,0)AC ，(0,2,2)B C，coscos,PB AC PB ACPB AC 223 13 1t 214t，coscos,PB B C PB B CPB B C 2|22|312 2tt 21124tt，由题意，B BBC，B BBA，则二面角 PB BC的平面角为ABC ，则060，当02t 时，由二次函数的单调性知，22(1)1102212)t 1coscos2
19、，故选：D12.如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AEBF AC与 EF 交于 G，EF 在 AB 与CD 之间滑动，但与 AB 和CD 均不重合在 EF 任一确定位置，将四边形 EFCD 沿直线 EF 折起，使平面 EFCD 平面 ABFE，则下列选项中错误的是（）AAGC的角度不会发生变化B二面角GACB先变大后变小试卷第 9页，共 18页C AC 与平面 ABFG 所成的角变小D AC 与 EF 所成的角先变小后变大解：以 E 为原点，EA，EF，ED 所在的直线为,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AEa，,0,0A a，0,1,
20、1Ca，0,0Ga，0,1,0F，,1,0B a，对于 A，,0AGa a，0,1,1GCaa，11cos2221AG GCa aAGCaaAG GC ，故AGC的角度不会发生变化，所以 A 正确；对于 B，设平面 AGC 的法向量为111,nx y z，则00n AGn AC ，即11111010axayaxya z，令11x ，11y ，11z ，不妨设()1,1,1n=-，设平面 ACB 的一个法向量为222,pxyz，则00p ABP CB，222010yaxaz，令2za，21xa，即1,0,paa，221cos,31n paan pn paa 试卷第 10页，共 18页2221 2
21、331232213221aaaaa，2221aa 对称轴为12，在0,1 先减小后增大，所以212221aa在0,1 先减小后增大，二面角GACB为钝角，231cos,23221n paa 先增大后减小，故二面角GACB先减小后增大，故 B 错误.对于 C，平面 ABFG 的一个法向量为0,0,1m，设 AC 与平面 ABFG 所成的角为，2222211sincos,1111AC maaAC maaAC maa 22112121112aaaa，0,1a，则1aa单调递减，sin 单调递减，所以 AC 与平面 ABFG 所成的角变小，故 C 正确；对于 D，设 AC 与所成的角为，,1,1ACa
22、a，0,1,0EF，22211cos222111AC EFAC EFaaaa ，2222aa对称轴为12，且0,1a，所以2222aa先减小后增加，所以cos 先增加再减小，即 AC 与 EF 所成的角先变小后变大，故 D 正确；故选：B二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.空间直角坐标系中点2,1,31,2,1AB、，点 P 在 x 轴上，且 PAPB，则点 P的坐标为_.解：设点 P 的坐标为,0,0 x，依题意得 22222220 1031020 1xx，解得4x ，所以点 P 的坐标为4,0,0.试卷第 11页，共 18页故答案为：4,0,014.方程220 xyxym表示一
23、个圆，则 m 的取值范围是_解：方程220 xyxym，即22111222xym表示圆，102m，求得12m，则实数 m 的取值范围为1,2，故答案为：1,.215.如图，在 120的二面角l 中，,Al Bl ACBD且,ACAB BDAB，垂足分别为 A，B，已知6ACABBD，则线段CD 的长为_解：因为,ACAB BDAB，所以0,0CA ABBD AB 又因为二面角l 的平面角为 120，所以,60CA BD 所以22|()CDCAABBD222|222CAABBDCA ABCA BDAB BD 36363636144，所以12CD 故答案为：1216.在正方体1111ABCDA B
24、 C D中，已知点 P 在直线1AB 上运动，则下列四个命题中：三棱锥1DC BP的体积不变；1DPD C；当 P 为1AB 中点时，二面角11PACC的余弦值为33；若正方体的棱长为 2，则 DPBP的最小值为84 2；其中说法正确的是_（写出所有说法正确的编号）解：1/AB1DC，1/AB平面1DBC，所以1AB 上任意一点到平面1DBC 的距离相等，所以三棱锥1DC BP的体积不变，所以正确；P 在直线1AB 上运动时，点 P 在面11DCC D 上的射影在1DC 上，所以 DP 在面11DCC D上的射影在1DC 上，又11DCCD，所以1DPD C，所以正确；当 P 为1AB 中点时
25、，以点 D 为坐标原点，建立空间直角系 Dxyz，如下图所示，设正方体的棱长为 2.试卷第 12页，共 18页则:1(2,0,0),(2,2,2),(2,1,1)ABP，11(2,0,2),(0,2,2),(0,2,0)ACC，所以1111(2,2,0)(0,1,1),(0,0,2)ACPACC，设面11AC P 的法向量为(,)mx y z，则11100m ACm PA，即2200 xyyz，令1x ，则1,1(1,1,1)yzm，设面11AC C 的法向量为(,)nx y z，11100n ACn CC ，即220(1,1,0)20 xynz，26cos,|332m nm nmn ，由图示
26、可知，二面角11PACC是锐二面角，所以二面角11PACC的余弦值为63，所以不正确；过1AB 作平面1AB M 交11A D 于点 M，做点 D 关于面1AB M 对称的点G，使得点G 在平面11ABB A 内，则1,DPGP DAGA DGAB，所以+DPBPGPBP，当点 P 在点1P 时，1,D P B在一条直线上，DPBP取得最小值 GB.因为正方体的棱长为 2，所以设点G 的坐标为2,Gm n，2,DGm n，10,2,2AB，所以12+20DG ABmn，所以 mn ，又2,DAGA所以22mn，所以 2,2,2G，2,2,0B，22222222+4 20+8GB，故正确.故答案
27、为：.三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）17.已知直线 12240l kxyk:，直线2224480lk xyk:.试卷第 13页，共 18页（1）若 12ll，求 k；（2）若 12ll，求 1l 与 2l 的交点 P 的坐标.解：（1）若 12ll，则由242kk ，即2240kk，解得0k 或2k .当0k 时，直线 1l：240y，直线 2l：480y，两直线重合，不符合 12ll，故舍去当2k 时，12ll，故2k -5 分（2）若 12ll，则由232480k kk，得2k.-8 分所以两直线方程为 1l：0 xy，2l：60 xy，联
28、立方程组060 xyxy，解得33xy，所以 1l 与 2l 的交点 P 的坐标为3,3P.-10 分18.如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，1ABAD，12AA，1160A ADA AB ，90DAB，M 为11AC 与11B D 的交点若 ABa，ADb，1AAc（1）求 BM 的长（2）求 BM 与 AC 所成角的余弦值解：（1）由题意得1111111111111()()222BMBBB MAAB DAAA DA Bcba因为90DAB，所以0a b，1cos,1 212a ca ca c ，1cos,1 212b cb cb c 所以2221111122442BMcb
29、acbac bc ab a 113 241 1442 -6 分试卷第 14页，共 18页（2）ACab，所以2222ACababa b，所以11()22cos,3 222cbaabBM ACBM ACBM AC 2211112222233c ac bb abab a ，所以 BM 与 AC 所成角的余弦值为 23-12 分19.已知圆经过点(1,0)A和(1,2)B ，且圆心在直线:10l xy 上.(1)求圆的标准方程；(2)若线段CD 的端点 D 的坐标是(4,3)，端点C 在圆上运动，求CD 的中点 M 的轨迹方程.解：（1）设圆心的坐标为,1t t，则有22221113tttt，整理求
30、得1t ，故圆心为1,0，半径 r 满足222114rtt，则圆的方程为2214xy；-6 分（2）设线段CD 中点,M x y，11,C x y，由 4,3D可知124xx，123yy，点C 在圆2214xy上运动，2224 1234xy，M 的轨迹方程为2233122xy.-12 分20.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，/ABCD，且2CD，1AB ，2 2BC，1PA ，ABBC，N 为 PD 的中点.试卷第 15页，共 18页（1）求证：/AN平面 PBC；（2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；解：过 A 作 AECD于点 E，则1DE ，以
31、A 为原点，AE、AB、AP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A，0，0)，(0B，1，0)，(2 2E，0，0)，(2 2D，1，0)，(2 2C，1，0)，(0P，0，1)，NQ为 PD 的中点，(2N，12，1)2（1）(2AN，12，1)2，(0BP，1，1)，(2 2BC，0，0)设平面 PBC 的法向量为(mx，y，)z，则02 20m BPyzm BCx ，令1y ，则0 x，1z ，(0m，1，1)，11022AN m ，即 ANm，又 AN 平面 PBC，/AN平面 PBC-6 分（2）由（1）知，(0AP，0，1)，(2 2AD，1，0)
32、，设平面 PAD 的法向量为(na，b，)c，则02 20n APcn ADab，令1a ，则2 2b，0c=，(1n，2 2，0)，cosm ，2 22|323m nnmn 故平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 23-12 分21.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，2PAAB，60BAD.试卷第 16页，共 18页（1）求证：直线 BD 平面 PAC；（2）设点 M 在线段 PC 上，且二面角CMBA的余弦值为 57，求点 M 到底面 ABCD的距离.解：（1）由菱形的性质可知 BDAC，因为 PA 平面 ABCD所以 BDAP，且
33、APACA，所以直线 BD 平面 PAC；-4 分（2）以点 A 为坐标原点，AD，AP 方向为 y 轴，z 轴正方向，如图所示，在平面 ABCD 内与 AD 垂直的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设,M x y z，且01PMPC，由于0,0,2,3,3,0,3,1,0,0,0,0PCBA，故：,23,3,2x y z，据此可得：3322xyz ，即点 M 的坐标为3,3,22M，试卷第 17页，共 18页设平面 CMB 的法向量为：1111,xny z，则：111111111,0,2,020,33,1 3,220n CBx y zyn MBx y z ，据此可
34、得平面 CMB 的一个法向量为：12,0,3n，设平面 MBA 的法向量为：2222,nxy z，则：2222222222,3,1,030,33,1 3,220nABxyzxynMBxyz ，据此可得平面 MBA 的一个法向量为：231,3,1n，二面角CMBA的余弦值为 57，故：2232517371 3(1)，整理得214196=0，解得：16=27或.由点 M 的坐标为3 3,122M 或6 3 18 2,777M.易知点 M 到底面 ABCD的距离为1或者 27.-12 分22.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB，AD 边分别在 x 轴，y 轴的正半轴上
35、，点 A 与坐标原点重合，如图所示将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC上（1）若折痕所在直线的斜率为 k，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k时，求折痕长的取值范围解：（1）当0k 时，此时点 A 与点 D 重合，折痕所在的直线方程为12y；当0k 时，将矩形折叠后点 A 落在线段 DC 上的点记为1G a，试卷第 18页，共 18页所以点 A 与点 G 关于折痕所在的直线对称，有1OGkk ，即 11ka ，交点 ak ，故点 G 的坐标为1Gk，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为12 2kP，所以折痕所在的直线方程为122kyk x，即2122kykx，综上所述，折痕所在的直线方程为2122kykx；-5 分（2）当0k 时，折痕的长为 2；当108k时，折痕所在的直线交 BC 于点212 222kMk，交 y 轴于点2102kN，22222211|224422kkMNkk，又因为108k，所以26544(4,16k，所以6524MN，综上所述，折痕长的取值范围为652,4-12 分
