1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)第 3 节 二项式定理 最新考纲1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.返回导航返回导航【教材导读】1(ab)n 的展开式中字母 a，b 的结构特点是什么？提示：a 为降幂排列、b 为升幂排列，每项中 a，b 的幂指数之和等于 n.2CrnAnrbr 在二项式(ab)n 的展开式中的位置如何？二项式系数与二项展开式中项的系数有何区别？提示：第 r1 项，二项式系数是指 C0n，C1n，Cnn(组合数)，展开式中项的系数是指定字母的前提下，字母的系数3二项展开式中各项系数和是如何求得的？返回导
2、航提示：在二项式及其展开式中对字母赋予特殊值，然后通过适当运算求得1二项式定理(1)二项式定理(ab)nC0nAnC1nAn1bCknAnkbkCnnbn(nN*)，这个公式叫做_(2)二项式系数、二项式的通项在上式中它的右边的多项式叫做(ab)n 的_，其中各项的系数 Ckn(k0,1,2，n)叫做_，式中的_叫做二项展开式的通项，用 Tk1 表示，即通项为展开式的第 k1 项：Tk1_.返回导航二项式定理二项展开式二项式系数CAnkbkCAnkbk2二项式系数的性质返回导航1.x22x5 的展开式中 x4 的系数为()(A)10(B)20(C)40(D)80返回导航C 解析：x22x5 的
3、展开式的通项公式为 Tr 1Cr5(x2)5 r2xrCr52rx103r，令 103r4，得 r2.故展开式中 x4 的系数为 C252240.故选 C.2使得3x 1x xn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为()(A)4(B)5(C)6(D)7返回导航B 解析：设3x 1x xn(nN)的展开式的通项为 Tr1，则：Tr13nrCrnxnrx32r3nrCrnxn52r，令 n52r0 得：n52r，又 nN，当 r2 时，n 最小，即 nmin5.故选 B.3(2018 皖南八校)二项式x2x6 展开式中常数项为_返回导航解析：二项式x2x6 展开式的通项为 Tr1Cr6(x
4、)6r2xr(2)rCr6x6r2 r，令6r2 r0，解得 r2，所以常数项为 T3(2)2C2660.答案：604在(24 3)50 的展开式中，有理项的个数为_返回导航解析：展开式的通项公式为 Tr1Cr50250r23r4，展开式中有理项应使得50r2，r4都为整数，即 r 被 4 整除，由于 0r50，所以 r0,4，48，共 13 个答案：1352nC1n2n1C2n2n2(1)n1Cn1n2(1)n_.返回导航解析：由(21)nC0n2nC1n2n1C2n2n2(1)n1Cn1n2(1)nCnn，得 2nC1n2n1C2n2n2(1)n1Cn1n2(1)n1.答案：1返回导航考点
5、一 求二项展开式中的特定项或项的系数(1)(x yy x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为_(2)设 a0sin xdx，则二项式a x 1x6 的展开式中的常数项是_(3)(x124x)8 的展开式中的有理项共有_项解析：(1)二项展开式的通项是 Tr1Cr4(x y)4r(y x)r(1)rCr4x4r2y2r2，令 4r22r23，解得 r2，故展开式中 x3y3 的系数为(1)2C246.(2)a0sin xdx(cos x)|02，所以二项展开式的通项是 Tr1Cr6(2 x)6r(1x)rCr626r(1)rx3r.令 3r0，得 r3，故二项展开式中的常数项是C3623160
6、.返回导航【反思归纳】求展开式中特定的项或者特定项的系数的基本思想是根据二项展开式的通项公式，确定该项的位置，然后进行具体的计算，注意方程思想的应用返回导航【即时训练】(1)(x23xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()(A)90(B)30(C)30(D)90(2)m22(cos xx3sin 2x)dx，则x 12 x3m的展开式中，常数项为_返回导航解析：(1)(x23xy)5 的展开式中通项公式：Tr1Cr5(y)5r(x23x)r，令 5r2，解得 r3，(x23x)3x63(x2)23x3x2(3x)2(3x)3，x5y2 的系数C35990，故选 D.(2)m22(cos x
7、x3sin 2x)dx(sin xx223cos 2x2)|222，所以x 12 x3mx 12 x6，所以 Tr1Cr6x6r 12 xrCr6x632x12r，由 632r0 得 r4，因此常数项为 C461241516.返回导航答案：(1)D(2)1516考点二 二项式系数的性质、系数和(1)设2x 1x(4x1)9bxa0a1xa2x2a10 x10，则a0a12 a 222a 10210_.(2)设(x21)(2x1)9a 0a 1(x2)a 2(x2)2a 11(x2)11，则a0a1a2a11 的值为()(A)2(B)1(C)1(D)2返回导航解析：(1)由题易知：bC99(1)
8、91令 x12，可得 32ba0a 12 a222a10210a0a12 a222a102105(2)令等式中 x1 可得 a0a1a2a11(11)(1)92，故选 A.返回导航答案：(1)5(2)A【反思归纳】(1)解题中注意使用二项式系数的性质；(2)多个二项式相乘，其最高次数为各个二项展开式中最高次数之和，可以把其按照升幂或者降幂的形式表示为一般的多项式，这表示方法对解决系数和之类的问题很有用处；(3)注意特值法的应用返回导航【即时训练】(1)x2x n 的展开式的二项式系数之和为 8，则展开式的常数项等于()(A)4(B)6(C)8(D)10(2)设(2x)5a 0a 1xa 2x2
9、a 5x5，那么 a 0a 2a 4a 1a 3a 5的值为()(A)122121(B)6160(C)244241(D)1返回导航解析：(1)因为(x2x)n 的展开式的各个二项式系数之和为 8，所以2n8，解得 n3，所以展开式的通项为 Tr1Cr3(x)3r2xr2rCr3x33r2，令33r20，则 r1，所以常数项为 6.(2)令 x1，可得 a 0a 1a 2a 3a 4a 51，再令 x1，可得 a 0a 1a 2a 3a 4a 535.2，得 a 0a 2a 4122，2，可得 a 1a 3a 5121，返回导航故 a 0a 2a 4a 1a 3a 5122121.返回导航答案：
10、(1)B(2)A考点三 二项式定理的应用(1)求证：122225n1(nN*)能被 31 整除；(2)求 SC127C227C2727除以 9 的余数；(3)根据下列要求的精确度，求 1.025 的近似值(精确到 0.01)返回导航解析：(1)122225n125n12125n132n1(311)n1C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn131(C0n31n1C1n31n2Cn1n)，显然 C0n31n1C1n31n2Cn1n为整数，原式能被 31 整除返回导航(2)SC127C227C27272271891(91)91C0999C1998C899C9919(C0098C1997C89)
11、2.C0998C1997C89是正整数，S 被 9 除的余数为 7.(3)1.025(10.02)51C150.02C250.022C550.025150.021.10.返回导航【反思归纳】利用二项式定理解决整除问题的思路(1)观察除式与被除式间的关系(2)将被除式拆成二项式(3)结合二项式定理得出结论返回导航【即时训练】利用二项式定理证明：当 nN*时 32n28n9 能被64 整除返回导航解析：32n28n99n18n9(81)n18n98n1C1n18nC2n18n 1Cn1n182Cnn1818n982(8n 1C1n18n2C2n18n3Cn1n1)，而 8n1C1n18n2C2n1
12、8n3Cn1n1N*，所以 32n28n9 能被 64 整除.二项展开式中项的系数教材源题：求 x1x9 展开式中 x3 的系数返回导航解：x1x9 的展开式的通项公式是Cr9x9r1xr(1)rCr9x92r.依题意，得 92r3，r3.因此，x3 项的系数是(1)3C3984.【规律总结】求二项展开式中项的系数的步骤(1)以 n，k 写出一般的二项展开式的通项公式，并进行整理；(2)令字母的指数等于所求的字母的指数，求得 k 值，即可求得系数该过程使用的是待定系数法，体现的是方程思想返回导航【源题变式】(1)(2018 天津卷)在x 12 x5 的展开式中，x2 的系数为_(2)(2018 浙江卷)二项式3 x 12x8 的展开式的常数项是_返回导航解析：(1)x 12 x5 的展开式的通项为 Tr1Cr5x5r12rxr212rCr5x53r2.令 53r2 2，解得 r2.故展开式中 x2 的系数为122C2552.(2)由题意，得 Tr1Cr8(3 x)8r12xrCr812rx8r3 xrCr812 rx84r3.令84r30，得 r2.返回导航因此 T3C28122872 147.返回导航答案：(1)52(2)7返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
