1、考点测试17定积分与微积分基本定理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义一、基础小题1. 的值为()A2 B2eC2e2 D2e2答案C解析exdxex|ex|e0(e)(ee0)1ee12e2.故选C.2若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 B C D1答案B解析因为f(x)x22f(x)dx，所以f(x)dx|2f(x)dx，所以f(x)dx.3若f(x)ff(1)1，则a的值为()A1 B2 C1 D2答案A解析因为f(1)lg 10，f(0)
2、3t2dtt3|a3，所以由ff(1)1得a31，a1，故选A.4由曲线yx2和曲线y围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为()A. B C D答案A解析由解得或所以阴影部分的面积为(x2)dx.故选A.5求曲线yx2与yx所围成的封闭图形的面积S，正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy答案B解析两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故对x积分时，积分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故曲线yx2与yx所围成的封闭图形的面积S(xx2)dx(同理可知对y积分时，S(y)dy)6设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)d
3、x3f(x0)，则x0等于()A1 B C D2答案C解析f(x)dx(ax2b)dx|9a3b，9a3b3(axb)，即x3，x0，故选C.7物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4 C5 D6答案C解析因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)|t3t5t25，得(t5)(t21)0，即t5.故选C.8已知dx，则m的值为()A. B C D1答案
4、B解析由微积分基本定理得dx(ln xmx)|m1me，结合题意得m1me，解得m.故选B.9由抛物线yx24x3及其在点M(0，3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为()A. B C D2答案A解析由yx24x3，得y2x4，y|x04，在M点处的切线方程为y4x3；y|x32，在N点处的切线方程为y2x6.又两切线交点的横坐标为x，故所求面积S 4x3(x24x3)dx 2x6(x24x3)dxx2dx(x26x9)dx.10已知2，若，则(x22x)dx()A. B C D答案C解析由2sincos2sincos sinsin2，因为，所以，所以tan1，故(x22x)dx
5、(x22x)dx|.11定积分 (x2sinx)dx_.答案解析 (x2sinx)dxx2dxsinxdx2x2dx2|.12如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_答案解析函数yx22x1与y1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积为S(x22x1)dx1dx(x22x11)dx(x22x)dx|.二、高考小题13(2014山东高考)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4 C2 D4答案D解析由得x0或x2或x2(舍去)S(4xx3)dx|4.14(2014湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足
6、f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3答案C解析由得f(x)g(x)sinxcosxsinx，是奇函数，所以f(x)g(x)dx0，所以为区间1,1上的正交函数；由得f(x)g(x)x21，所以f(x)g(x)dx (x21)dx|，所以不是区间1,1上的正交函数；由得f(x)g(x)x3，是奇函数，所以f(x)g(x)dx0，所以为区间1,1上的正交函数故选C.15(2014湖南高考)已知函数
7、f(x)sin(x)，且f(x)dx0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx答案A解析由f(x)dxsin(x)dxcoscos0，得cossin.从而有tan，则n，nZ，从而有f(x)sin(1)nsin，nZ.令xk，kZ，得xk，kZ，即f(x)的图象的对称轴是xk，kZ.故选A.16(2015陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_答案解析建立直角坐标系，如图过B作BEx轴于点E，BAE45，BE2，AE2.又OE5，A(3,0)，B(5,2)设抛物线的方程为x22
8、py(p0)，代入点B的坐标，得p，故抛物线的方程为yx2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx|.又SABE222，故曲边三角形OAB的面积为，从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为216，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.17(2014辽宁高考)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析由对称性可知S阴影S正方形ABCD4x2dx224，所以所求概率为.三、模拟小题18(2020沈阳摸底) ()A2 B C D答案C解析表示
9、以原点为圆心，为半径的圆的面积，故()2.故选C.19(2019河南省八市重点高中第二次联合测评)已知函数f(x)则f(x)dx()A. B C7 D答案B解析函数f(x)则f(x)dxx|x|dxdx0.故选B.20(2019江西南昌模拟)如图，指数函数的图象过点E(2,9)，则图中阴影部分的面积等于()A. B8 C D9答案A解析设指数函数为yax，函数的图象过点(2,9)，9a2，a3，指数函数为y3x，阴影部分的面积等于3xdx|.故选A.21(2019郑州二模)二项式6的展开式中x5的系数为，则dx()A. B C D答案D解析Tr1C(ax)6rr，令6r5，得r1，所以x5的系
10、数为Ca5，解得a1，故dx.22(2019娄底二模)如图，在矩形OABC中的曲线分别是ysinx，ycosx的一部分，A，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则()AP1P2CP1P2 D大小关系不能确定答案B解析根据题意，阴影部分的面积的一半为(cosxsinx)dx1，于是此点取自阴影部分的概率为P12.又P21P1P2.故选B.23(2019济南高三阶段测试)若数列an是公比不为1的等比数列，且a2018a2020dx，则a2017(a20192a2021a2023)()A42 B22 C2 D32答案C解析由题意，dx
11、22，则a2018a2020，设等比数列an的公比为q，则a20192a2021a2023(a2018a2020)q(a2018a2020)q3(qq3)，故a2017(a20192a2021a2023)a2017(qq3)(a2018a2020)2.故选C.24(2019泉州模拟)1(x2tanxx31)dx_.答案2解析因为x2tanxx3是奇函数，所以 (x2tanxx31)dx1dxx|2.25(2019陕西汉中模拟)一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)exx的作用，则它从x0运动到x1时F(x)所做的功等于_答案解析由题意知Wdx|.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二
12、、模拟大题1(2019长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线yx与直线x1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥x2dxx3|.据此类比：将曲线y2ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体的体积V.解由曲线y2ln x，可得xe，根据类比推理得体积Veydxey|(e1)2(2020开封高三摸底考试)如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)所围成的封闭图形的面积S.解(1)因为f(x)，所以f(x).又点A(6,4)为切点，所以f(6)，因此切线方程为y4(x6)，即x2y20.(2)令f(x)0，则x2，即点C(2,0)在x2y20中，令y0，则x2，所以点B(2,0)故Sdxdx|.