1、考点测试13函数模型及其应用高考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的()答案B解析蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B.2在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.01
2、3.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x答案D解析根据x0.5，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意，故选D.3国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为a万元，则280p%(a28
3、0)(p2)%a(p0.25)%，解得a320.故选D.4某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则p(60)()A150毫克/升 B300毫克/升C150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升答案C解析因为当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升)5某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶
4、的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示设观察者从点A开始随小车P变化的视角为AOP，练车时间为t，则函数f(t)的图象大致为()答案D解析根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D.6f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)答案B解析画出三个函数的图象，如下图所示，当x(4，)时，指数函数的图象位于二次函数的图象
5、的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x)7某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y1(x0)已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为()A30.5万元 B31.5万元C32.5万元 D33.5万元答案B解析由题意，得甲产品的生产成本为(30y4)万元，销售单价为150%50%，故年销售收入为z
6、y45y6x.所以年利润Wz(30y4)x15y217(万元)所以当广告费为1万元时，即x1，该企业甲产品的年利润为1731.5(万元)故选B.8某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()Ay12x By6x26x12Cy62x Dy12log2x12答案C解析由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数，故选C.9某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销
7、售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是()Ayx Bylg x1Cyx Dy答案B解析由题意知，x10,1000，符合公司要求的模型需同时满足：函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%.对于yx，易知满足，但当x20时，y5，不满足要求；对于yx，易知满足，因为45，故当x4时，不满足要求；对于y，易知满足，但当x25时，y5，不满足要求；对于ylg x1，易知满足，当x10,1000时，2y4，满足，再证明lg x1x25%，即4lg x4x0，设F(x)4
8、lg x4x，则F(x)10，x10,1000，所以F(x)为减函数，F(x)maxF(10)4lg 10410220时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)答案y(xN*)16解析当020时，y260100x160x.故y(xN*)当020时，160x200，则lg 130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n.又nN*，n5
9、，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年故选B.14(2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选
10、项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确15(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时答案C解析由题意得即所以该食品在33
11、 的保鲜时间是ye33kb(e11k)3eb319224(小时)16(2019北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_答案13015解析顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140(元)，超过了120元可以优惠，所
12、以当x10时，顾客需要支付14010130(元)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120x)元，所以(120x)80%1200.7，所以x15.即x的最大值为15.17(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_.答案811解析把z81代入方程组，化简得解得x8，y11.三、模拟小题18(2019四
13、川绵阳模拟)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()答案B解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.19(2019贵阳模拟)某商场销售A型商品已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A4 B5.5 C8.5 D10答案C解析设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y(x3
14、)400(x4)404021210，故当x8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.20(2020湖北荆州高三阶段考试)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：月份一月份二月份三月份四月份用气量/m3452535煤气费/元441419若五月份该家庭使用了22 m3的煤气，则其煤气费为()A12.5元 B12元 C11.5元 D11元答案A解析由题意得C4.将(25,14)，(35,19)代入f(x)4B(xA)，得解得所以f(x)故当x22时，f(22)12.5.故选A.21(2019河南洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制
15、度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少则下列函数最符合要求的是()Ay(x50)2500By10500Cy(x50)3625Dy5010lg (2x1)答案C解析由题意知，拟定的函数应满足：是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；在x50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y(x50)2500先减后增，不符合要求；B中，函数y10500是指数型函数，增长速度
16、是越来越快，不符合要求；D中，函数y5010lg (2x1)是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y(x50)3625是由函数yx3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求故选C.22(2020北京海淀月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元销售额x为64万元时，奖励4万元若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员想要得到8万元奖励，则他的销售额应为_万元答案1024解析由题意，得函数yalog4xb过点(8,1)和(64,4)，则即解得则函数y2log4x2，某业务员要想得到8万元奖励，由2log4x28，解得x45102
17、4(万元)即他的销售额应为1024万元23(2019石家庄二模)某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.则你认为最适合的函数模型的序号为_答案解析若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与
18、表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)axb，由已知得解得所以f(x)x，xN*，将x2，x4代入验证可得f(x)的值与表中数据较为接近，所以最适合的函数模型的序号为.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019河南三门峡模拟)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧
19、量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少要270个单位2(2019潍坊中学月考)中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需
20、另投入成本c(x)(万元)，当年产量不足80台时，c(x)x240x(万元)；当年产量不小于80台时，c(x)101x2180(万元)若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？解(1)当0x80时，y100x500x260x500；当x80时，y100x5001680.所以y(2)当0x80时，y5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求(b)对于函数模型()ylog2x2，它在10,100上是增函数，满足条件，x100时，ymaxlog210022log255，即f(x)5恒成立满足条件，设h(x)log2x2x，则h(x)，又因为x10,100，所以，所以h(x)0，所以h(x)在10,100上是递减的，因此h(x)h(10)log21040，即f(x)恒成立，满足条件，故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型()ylog2x2符合公司要求
