1、高考热点追踪(六) “交融”在本质高考对复数要求不高，但仍是常考内容纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融在一起，这些试题从形式上看很“新”，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看下面三个例题 (2019南京模拟)已知O为坐标原点，向量，分别对应复数z1，z2，且z1(10a2)i，z2(2a5)i(aR)，若1z2是实数(1)求实数a的值；(2)求以，为邻边的平行四边形的面积【解】(1)因为1z2(10a2)i(2a5)i(a22a15)i是实数，所以a22a150所以a3，a5(舍去)故a3(2)由(1)知，z1i，z21i，所以，(1，1)，所以|，|，cos， 所以si
2、n，所以S|sin，所以平行四边形的面积为名师点评 在复平面内，如果复数变量按照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复数问题和向量问题构成了天然联系 已知a，b，c，dR，对于复数zabi，有z(4i)是纯虚数，(z2)(14i) 是实数，且函数f(x)ax3bx2cxd在x0处有极值2(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在整数m，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且仅有一个实数根若存在，求出所有m的值，若不存在，请说明理由【解】(1)因为z(4i)(4ab)(a4b)i是纯虚数，(z2)(14i)(a4b2)(4ab8)i是实数，且a，b
3、R，所以解得又因为f(x)在x0处有极值2，所以f(0)0，f(0)2，得到c0，d2，所以f(x)x34x22，则f(x)3x28x3x，f(x)00x，f(x)0x所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(，0)和(2)由(1)知：当x0时，f(x)有极小值20，而当x时，f(x)，当x时，f(x)，则方程f(x)0在f(x)的三个单调区间(，0)，上必各有且仅有一个根因为f(1)10，f(0)0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_【解析】
4、观察知：四个等式等号右边的分母为x2，3x4，7x8，15x16，即(21)x2，(41)x4，(81)x8，(161)x16，所以归纳出分母为fn(x)f(fn1(x)的分母为(2n1)x2n，故当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)【答案】名师点评本题各式的分子相同，关键是如何归纳分母特征二、图形中的归纳推理 将正ABC分割成n2(n2，nN*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数
5、之和为f(n)，则有f(2)2，f(3)_，f(n)_【解析】 当n3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abc1，x1x2ab，y1y2bc，z1z2ca，x1x2y1y2z1z22(abc)2，2gx1y2x2z1y1z2，6gx1x2y1y2z1z22(abc)2，即g而f(3)abcx1x2y1y2z1z2g12进一步可求得f(4)5由上知f(1)中有3个数相加，f(2)中有6个数相加，f(3)中有10个数相加 ，f(4)中有15个数相加，若f(n1)中有an1(n1)个数相加，可得f(n)中有(an1n1)个数相加，且由f(1)1，f(2)f(1)，f(3)f(2)
6、，f(4)5f(3)，可得f(n)f(n1)，所以f(n)f(n1)f(n2)f(1)(n1)(n2)【答案】(n1)(n2)名师点评本题的归纳实际用了从特殊到一般的数学思想方法1复数(a0)在复平面内对应的点在第_象限解析 (a0)ai，对应的点(a，1)在第四象限答案 四2(2019南通市高三模拟)电视台组织中学生知识竞赛，共设有5类试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是_解析 依次记5类试题为A，B，C，D，E，则共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，D
7、E，共10个事件，其中4个事件中含有“立德树人”主题，故所求概率P答案 3(2019南京调研)某校为了解高三同学暑假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天的平均学习时间，绘成频率分布直方图(如图)，则这100名同学中学习时间在68小时内的人数为_解析 由直方图知，学习时间在68小时内的频率为1(004012014005)203，所以100名同学中学习时间在68小时内的人数为0310030答案 304(2019成都质检改编)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为_解析 第一次循环结束，得s022，k2213；第二次循环结束，得s235，k2315；第三次循环结束，得s5510，k251
8、9；第四次循环结束，得s10919，k2911710，此时退出循环故输出s的值为19答案 195已知cos，coscos，coscoscos，根据这些结果，猜想出的一般结论是_答案 coscoscos6(2019南通市高三模拟)将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线yx下方的概率为_解析 点P(m，n)所有的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，
9、(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中在直线yx下方的情况有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，则所求概率为答案 7(2019苏州质检)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案 g(x)8(2019江苏四星级学校联考
10、)设A，B两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生B选择英语教师的概率为_解析 设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A先选，B后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)共4种情况，所以所求概率为P答案 9(2019泰州期末)数
11、列an的前n项和是Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，若存在整数k，使Sk10，此时最后一列数的分母为7，而10510，故ak答案 10(2019泸州模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%的可能改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%的可能改选A菜用an表示第n个星期一选A菜的人数，如果a1428，则a6的值为_解析 依题意有：anan1(500an1)an1150(n2，nN*)，即an300(an1300)(n2，nN*)，an128300因此a6128300304答案 30411随机抽取某中学高三年级
12、甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学，求身高176 cm的同学被抽中的概率解 (1)甲班同学身高的平均数170解得a179，所以污损处是9(2)设“身高176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm的同学有181，173，181，176，181，178，181，179，179，173，179，176，179，178，178，173，178，176，176，1
13、73，10个基本事件而事件A含有4个基本事件，所以P(A)12观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an(n2，nN*)(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出an1与an的关系式并求出an的通项公式解 (1)第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6(2)依题意an1ann(n2)，a22，ana2(a3a2)(a4a3)(anan1)223(n1)2所以ann2n1(n2)13已知f(x)ax2bxc，若ac0，f(x)在1，1上的最大值为2，最小值为求证：a0且2证明 假设a0或2(1)当a0时，由ac0，得f(x)bx，显然b0由题意得f(x)bx在1，1上是
14、单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|由已知条件，得|b|(|b|)2，这与|b|(|b|)0相矛盾，所以a0(2)当2时，由二次函数的对称轴为x，知f(x)在1，1上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得所以或又ac0，则此时b无解，所以2由(1)(2)，得a0且214定义在(0，)上的函数f(x)，如果对任意x(0，)，恒有f(kx)kf(x)(k2，kN*)成立，则称f(x)为k阶缩放函数(1)已知函数f(x)为二阶缩放函数，且当x(1，2时，f(x)1logx，求f(2)的值；(2)已知函数f(x)为二阶缩放函数，且当x(1，2时，f(x)，求证：函数yf(x)x在(1，8)上无零点解 (1)由(1，2得，f()1log，由题中条件得f(2)2f()21(2)证明：当x(2i，2i1(i0，1，2)时，(1，2，依题意可得：f(x)2f22f2if2i方程f(x)x0xx0或x2i，0与2i均不属于(2i，2i1(i0，1，2)，当x(2i，2i1(i0，1，2)时，方程f(x)x0无实数解注意到(1，8)(20，21(21，22(22，23)，所以函数yf(x)x在(1，8)上无零点
