1、数学试题（第1页，共6页）福州市 2021 届高三 5 月调研卷数学（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）注意事项1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.全集1,2,3,4,5,6U=，集合|39xAxU=，则U A=A1,2B1,2,3C4,5,6
2、D3,4,5,6 2.已知 z 为复数，210z+=，则|1|z 等于A0B1C2D23.在6()xyz+的展开式中，4xyz 的系数是A15B30C36D604.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示如果一张石凳的体积是30.18 m，那么原正方体石料的体积是A0.196 m3B0.216 m3C0.225 m3D0.234 m35.已知2log0.50.2aba=，则A1ab B1abC1ba D1ba数学试题（第2页，共6页）6.已知直线1yx=与抛物线24yx=交于,A B 两点若点(1,)Cm满足90ACB=，则m=A 1B1C2D
3、3 7.经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量 Q（单位：L）与速度 v（单位：km/h）（40 v 120）的数据如下表：为描述 Q 与 v 的关系，现有以下三种模型供选择：()0.043.6Q vv=+，()0.5Q va=+，()320.0000250.0040.25Q vvvv=+选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是)60,90，)90,110，110,120（单位：km/h）为使百公里耗油量 W（单位：L）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为A在外侧车道以 80 km/h 行驶 B在中间车道以 90 km/
4、h 行驶C在中间车道以 95 km/h 行驶D在内侧车道以 115 km/h 行驶8.为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：你的学号尾数是奇数吗？你是否需要心理疏导？某校高三全体学生 870 人参加了该项问卷调查被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现 1 点或 2点时，回答问题，否则回答问题由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应问卷调查结束后，发现该校高三学生中有 155 人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为A10B15
5、C29D58二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分9.已知向量(1,0)=a，(0,1)=b，(1,1)=c，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是Aa，cBa，bcC c，+abD+ab，bc v406090100120Q5.268.3251015.6 数学试题（第3页，共6页）10.已知()sin()(0)f xx=+，直线512x=,1112x=是()f x 的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是A函数5()12yf x=+为偶函数B()f x 的
6、图象的一个对称中心为 ,06C()f x 在区间50,6上有 2 个零点D()f x 在区间,6 6 上为单调函数11.在棱长为 2 的正四面体 ABCD中，M 为 AD 的中点，N 为 BC 的中点，则下列说法正确的是A MNCD B正四面体 ABCD外接球的表面积等于6C MNBC D正四面体 ABCD外接球的球心在 MN 上12.在ABC中，4AB=，M 为 AB 的中点，且 CACBCM=，则下列说法中正确的是A动点C 的轨迹是双曲线B动点C 的轨迹关于点 M 对称CABC是钝角三角形DABC面积的最大值为 2 3三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知()
7、3tan 4=，则sin2 的值为_14.已知正项等比数列 na的前 n 项和为nS，2+112 nnna a+=，则nS=_15.购买某种意外伤害保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保险费 20 元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金 50 万元已知该保险每一份保单需要赔付的概率为510，某保险公司一年能销售 10 万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_；一年度内盈利的期望为_万元（参考数据：55 101 10)0.37（）（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）16.函数()2(1026)exf xxx=+，若12,x xI，12x
8、x，都有()()121222f xf xxxf+成立，则满足条件的一个区间 I 可以是_（填写一个符合题意的区间即可）.数学试题（第4页，共6页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分）ABC的内角,A B C 所对的边分别为,a b c，sincos()6bAaB=（1）求 B；（2）若 D 是ABC的外接圆的劣弧 AC 上一点，且3a=，4c=，AD=1，求CD 18.（12 分）已知数列 na满足13a=，112nnaa+=.（1）证明：存在等差数列bn，当 n1 时，1nnnbab=成立；（2）求 na的通项公式.19.（12
9、 分）在三棱柱111ABCA B C中，ABAC，平面 ABC 平面11ABB A，平面 ABC 平面11ACC A （1）证明：1AA 平面 ABC；（2）在1ABAC=，1BC 与平面11ABB A 所成的角为30，异面直线1C C 与1A B所成角的余弦值为63 这三个条件中任选两个，求二面角111ABCB的余弦值C1B1A1CBA数学试题（第5页，共6页）20.（12 分）某种病菌在某地区人群中的带菌率为 10%，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测,x y两项指标，若指标 x 的值大于 4 且指标 y 的值大于
10、 100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性为考查该检测方法的准确度，随机抽取 50 位带菌者（用“*”表示）和 50 位不带菌者（用“+”表示）各做 1 次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：（1）从这 100 名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；（2）能否在犯错误概率不超过 0.001 的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？（2）现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带菌”且“检测结果呈阳性”的概率附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd=+2()P Kk0.050 0.010 0.001k3.84
11、1 6.635 10.828数学试题（第6页，共6页）21.（12 分）已知椭圆2222:1xyC ab+=（0ab）的左、右顶点分别为 A,B，O 为原点以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点 P,Q 在C 上（1）求C 的离心率；（2）当2a=时，过(1,0)作与 x 轴不重合的直线l 与C 交于,M N 两点，直线 AM,BN的斜率分别为1k，2k，试判断12kk 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由22.（12 分）（1）若 01a，判断函数()sin(1)lnf xaxx=+在区间()0,1 内的单调性；（2）证明：对任意2n，*nN，2222111sinsi
12、nsinln25101n+.数学参考答案及评分细则（第1页 共13页）福州市 2021 届高三 5 月调研卷数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基
13、本运算每小题 5 分，满分 40 分1D2C3B4B5C6C7A8B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分每小题全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分9AD10ABC11BCD12BD二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分13 242514122n+150.63；15016(2,3)等（注：2,4的任意一个非空子区间均可）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想，化归与转化
14、思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性满分 10 分 解法一：（1）由题设及正弦定理得，sinsinsincos()6BAAB=，1 分 从而31sinsinsin(cossin)22BAABB=+，2 分化简得，13sinsinsincos22ABAB=3 分数学参考答案及评分细则（第2页 共13页）因为0,sin0AA ，4 分所以 tan3B=，又 0B ,故3B=5 分（2）在ABC中，由余弦定理知，222222cos=3+42 3 4 cos=133bacacB=+，即13b=6 分又由于 A B C D，四点共圆，从而23ADCB=，7 分在ADC中，设 DC
15、x=，由余弦定理得，2222cosACADDCAD DCADC=+，8 分即得222131+2 1cos 3xx=，化简得，2120 xx+=，解得3x=或4x=（舍去），故3DC=10 分解法二：（1）由题设及正弦定理得，sinsinsincos()6BAAB=，1 分从而31sinsinsin(cossin)22BAABB=+，2 分化简得 13sinsinsincos22ABAB=3 分因为0,sin0AA ，所以 13sincos022BB=，所以sin03B=，4 分又 0B ,故3B=5 分（2）在ABC中，由余弦定理知，222222cos=3+42 3 4 cos=133baca
16、cB=+，即13b=6 分数学参考答案及评分细则（第3页 共13页）又由于 A B C D，四点共圆，从而23ADCB=，7 分在ACD中，设ACD=，则由正弦定理得sinsinsinADCDACACDCADADC=，即1132 13sin33sin 32CD=，8 分所以3sin2 13=，又03，所以7cos2 13=，所以313 3sincossin3222 13=，9 分所以2 132 133 3sin33332 13CD=10 分18本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想；考查数学抽象、数学运算等核心素
17、养；体现基础性，综合性满分 12 分解法一：（1）当 n1 时，由112nnaa+=，得112nnnnbbbb+=，2 分化简得112nnnbbb+=，即11nnnnbbbb+=，4 分这说明 nb是等差数列，故存在一个等差数列bn，当 n1 时，1nnnbab=成立6 分（2）依题意，211523aa=，7 分又由（1）知221bab=，所以2153bb=，即2153bb=，8 分所以等差数列bn的公差21123dbbb=，9 分所以1121(1)()32nbbndnb=+=+，11 分数学参考答案及评分细则（第4页 共13页）故11121()21322121()32nnnnbbnabnnb
18、+=12 分解法二：（1）由已知，当 n1 时，因为13a=，112nnaa+=，所以253a=，375a=，2 分故令21nbn=，则数列 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列4 分 此时2121nnan+=，代入验算满足112nnaa+=，故存在一个等差数列 nb，当 n1 时，1nnnbab=成立，命题得证6 分（2）由112nnaa+=，得11111nnnnaaaa+=，7 分由，得，8 分所以，9 分所以是首项为 12，公差为 1 的等差数列，即，11 分所以2121nnan+=12 分19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成的角，异面直线所
19、成的角等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性满分 12 分解法一：（1）证明：因为 ABAC，平面 ABC 平面11ABB A，平面 ABC平面11ABB AAB=，AB 平面 ABC，所以 AC 平面11ABB A 1 分又因为1AA 平面11ABB A，所以1ACAA2 分同理：1ABAA，4 分13a=10na 1111111nnnnaaaa+=+11na1121(1)122nnna=+=数学参考答案及评分细则（第5页 共13页）又因为 ABACA=，所以1
20、AA 平面 ABC；5 分（2）选择；由（1）知，1AA 平面 ABC，所以三棱柱111ABCA B C是直三棱柱因为 ACAB，1ABAC=，所以2BC=在直三棱柱111ABCA B C中，AC 平面11ABB A，11ACAC，所以11AC 平面11ABB A，所以11C BA为1BC 与平面11ABB A 所成的角，所以11=30C BA 6 分在 Rt11C A B中，111C A=，12C B=，所以13A B=，在 Rt1ABA中，1AB=，所以12AA=7 分以 A 为原点，1,AB AA AC 的方向分别为,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示(1,0,0)B，(
21、0,0,1)C，1(1,2,0)B，1(0,2,0)A，1(0,2,1)C所以1(1,2,0)BA=，11(0,0,1)AC=，1(1,2,1)BC=，1(0,2,0)BB=8 分设平面11A BC 的法向量为(,)x y z=m，由11100BAAC=mm得200 xyz+=，令1y=得平面11A BC 的一个法向量为(2,1,0)=m9 分 设平面11BC B 的法向量为(,)x y z=n，由1100BBBC=nn得2020yxyz=+=，令1x=得平面11BC B 的一个法向量为(1,0,1)=n 10 分所以 cos,=m nm nm n232=33=，11 分A1zyxC1B1CB
22、A数学参考答案及评分细则（第6页 共13页）所以二面角111ABCB的余弦值为33 12 分解法二：（1）同解法一；5 分（2）选择；因为 ACAB，1ABAC=，所以2BC=由（1）知，1AA 平面 ABC，故1AAAB，在三棱柱111ABCA B C中，11C CA A，所以异面直线1C C 与1A B 所成角为1AA B，所以16cos3AA B=6 分在 Rt1ABA中，因为1AB=，1AAAB，16cos3AA B=，所以12AA=7 分下同解法一；12 分解法三：（1）同解法一；5 分选择；由（）知，1AA 平面 ABC，所以三棱柱111ABCA B C是直三棱柱，在直三棱柱111
23、ABCA B C中，AC 平面11ABB A，11ACAC，所以11AC 平面11ABB A，所以11C BA为1BC 与平面11ABB A 所成的角，所以11=30C BA 6 分在直三棱柱111ABCA B C中，11C CA A，且1AAAB，所以异面直线1C C 与1A B 所成角为1AA B，所以16cos3AA B=7 分在11RtA BC中，设111C A=，则12C B=，所以13A B=，在 Rt1ABA中，因为13A B=，16cos3AA B=，所以12AA=，1AB=8 分 数学参考答案及评分细则（第7页 共13页）下同解法一 12 分20本题主要考查用样本估计总体，独
24、立性检验，条件概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，推理论证能力，创新能力以及应用意识；考查统计与概率思想，化归与转化思想；考查数学建模，数据分析，数学运算等核心素养；体现综合性、应用性和创新性满分 12 分解法一：（1）设 A=“从这 100 名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”，1 分根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有 5 人，2 分所以51()5010P A=3 分（2）假设 H0：“带菌”与“检测结果呈阳性”无关，4 分可作出 22列联表如下：5 分阳性阴性合计带菌351550不带菌54550合计4060100进一步计算得，2K 的观测值2100(
25、3545155)37.510.82840605050k=；6 分 因为2(10.828)0.001P K=，7 分所以，能够在犯错误概率不超过 0.001 的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关 8 分（3）设 B=“被检测者带菌”，C=“被检测者检测结果呈阳性”，则 BC=“被检者带菌且检测结果呈阳性”，9 分用频率估计概率，根据题意可知：()0.1P B=，35(|)0.750P C B=，11 分所以由条件概率公式可知()()(|)0.1 0.70.07P BCP BP C B=12 分解法二：（1）设 A=“从这 100 名被检测者中，随机抽取一名为不带菌者”，D=“从这 100
26、 名被检测者中，随机抽取一名检测结果呈阳性”，数学参考答案及评分细则（第8页 共13页）则“从这 100 名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”的概率就是“在事件 A 发生的条件下，事件 D 发生”的概率，记为(|)P D A 1 分根据题意，1()2P A=，5()100P AD=，2 分利用条件概率公式，得5()1100(|)1()102P ADP D AP A=3 分（2）下同解法一 12 分21本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想；考查直观想象，逻辑推理
27、，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分解法一：（1）以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点坐标分别为(,0)B a,(,)2 2a aP,(,)22aaQ 1 分因为,P Q 在椭圆上，所以2222441aaab+=，2 分所以223ab=，3 分所以22222cabb=，4 分所以椭圆的离心率63cea=；5 分（2）当2a=时，2 33b=，所以椭圆的方程为2234xy+=6 分12kk 为定值 13，理由如下：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为1x=，则(1,1),(1,1)MN，所以1111121(2)3ykx=+，22211212ykx=，所以1213kk=7
28、分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1xmy=+，0m，设11(,)M x y，22(,)N xy，QPBAOyx1NMBAOyx数学参考答案及评分细则（第9页 共13页）不妨设210yy，且120yy+由22134xmyxy=+=可得22(3)230mymy+=，8 分2=16360m+，12223myym+=+，12233y ym=+9 分要证1213kk=，只要证明：11222132yxyx+=，只要证：12213(2)(2)y xyx=+，只要证：12213(1)(3)y myy my=+，只要证：121223()my yyy=+，因为120yy+，0m，即证121232y yyy
29、m=+，10 分因为12223myym+=+，12233y ym=+，所以121232y yyym=+所以1213kk=成立，11 分综上所述：121=3kk 12 分解法二：（1）同解法一；5 分（2）当2a=时，2 33b=，所以椭圆的方程为2234xy+=6 分设l 的方程为1xmy=+，0m，设11(,)M x y，22(,)N xy，不妨设210yy由22134xmyxy=+=可得22(3)230mymy+=，2=16360m+，12223myym+=+，12233y ym=+7 分所以121223yymy y+=，即121223()my yyy=+8 分数学参考答案及评分细则（第1
30、0页 共13页）11122222ykxykx+=9 分121222yxxy=+1212112122(1)(3)3y mymy yymyymy yy=+10 分 1211212212313()12223393()+3222yyyyyyyyyy+=+11 分综上所述：121=3kk 12 分解法三：（1）同解法一；5 分（2）当2a=时，2 33b=，所以椭圆的方程为2234xy+=6 分设l 的方程为1xmy=+，0m，设11(,)M x y，22(,)N xy，不妨设210yy由22134xmyxy=+=可得22(3)230mymy+=，2=16360m+，12223myym+=+，12233
31、y ym=+7 分因为 N 在椭圆上，所以222234xy+=，即2222430 xy+=，所以22221223yyxx=+8 分111121222121222232222ykxyxyyykxyxxx+=+，9 分12123(3)(3)y ymymy=+122121233()9y ym y ym yy=+10 分数学参考答案及评分细则（第11页 共13页）222222393()13332273()3()9333mmmmmmmm+=+所以1213kk=11 分综上所述：121=3kk 12 分解法四：（1）同解法一；5 分（2）当2a=时，2 33b=，所以椭圆的方程为2234xy+=6 分设1
32、1(,)M x y，22(,)N xy，因为 M 在椭圆上，所以221134xy+=，所以11111223yyxx=+7 分所以111112123yxkxy=+，8 分同理222222123yxkxy+=9 分设12ktk=，则()()()()211212212222xyxytxyxy=+，所以12221122tx ytyx yy+=，12221122x yytx yty=+，+得()()()()122211121121tx ytytx yty+=+，10 分当1t=时得21yy=，不合题意，舍去当1t 时，()()12212 12 111ttxyxytt=+，所以直线 MN 经过点()2 1
33、01tt+，,又 MN 过定点()1 0，故()2 111tt=+，解得13t=11 分综上所述：121=3kk 12 分数学参考答案及评分细则（第12页 共13页）22本小题主要考查导数，函数的单调性，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力和创新能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现综合性和创新性满分 12 分解法一：（1）因为()()sin 1lnf xaxx=+，所以()()1cos 1fxaxx=+1 分因为01x，所以011x ，则()0cos 11x 2 分又 01a，知 0cos(1)1ax，且01x 时
34、 11x ，3 分故()()1cos 10fxaxx=+，所以()f x 在()0,1 单调递增4 分（2）由（1）知，当1a=时，()()1f xf，即()sin 1ln0 xx+，所以()1sin 1lnxx5 分令2111xn=+，所以2221111nxnn=+，从而2211nxn+=，所以2222111sinlnln 11nnnn+=+，6 分因为*2,nnN，所以21(0,1)1n+，所以210sin11n+，所以22211sinsin11nn+21ln 1n+，7 分所以2222222111111sinsinsinln 1ln 1ln 1510123nn+，即22222221111
35、11sinsinsinln 111510123nn+8 分因为444222222111111111231111112311123nnn +=9 分()()()()()()44444422211111111111123231121 213 1 3 111223nnnnnnn =+数学参考答案及评分细则（第13页 共13页）10 分444111111122231nn =+，11 分所以222111ln 111ln 223n+，所以2222111sinsinsinln25101n+12 分解法二：（1）同解法一；4 分（2）由（1）知，当1a=时，()()1f xf，即()sin 1ln0 xx+，
36、所以()1sin 1lnxx5 分令2111xn=+，所以2221111nxnn=+，从而2211nxn+=，所以22221110sinlnln 1ln 21nnnn+=+（*nN 且2n），6 分构造函数()ln(1)xxx=+，0 x，1()1011xxxx=+，所以()x在(0,)+上单调递减，所以()(0)0 x=，即ln(1)(0)xx x+，7 分所以0 21ln(1)k+21k1(1)(1)kk k，8 分所以当*nN 且2n，()2110sin11nn n+，故()221ln 2sin11nn n+，9 分所以2222111sinsinsin5101n+111(ln 2)(ln 2)(ln 2)1 22 3(1)nn+111ln 21 22 3(1)nn=+11111(1)()ln 2223(1)nn=+10 分1=1ln 2ln 2n 11 分所以2222111sinsinsinln25101n+.12 分