1、2022届高三入学调研试卷理 科 数 学 （B）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由可得，可
2、得，所以集合，所以，故选C2若复数，则（ ）A0B2C4D6【答案】B【解析】由题意可得，则，所以，故选B3对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，由此可得，故选A4函数的部分图象大致形状是（ ）ABCD【答案】C【解析】定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；当时，令，可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，故排除选项A
3、，故选C5已知数列an的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，则使得T20的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由可得，当时，；当时，作差可得，即，而，符合，那么，所以，故选C6已知函数，若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以为奇函数；因为，所以在上单调递减，又，所以，故选D7已知的外心为，则的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】，则，即，则为的中点，又因为为的外心，则，所以，为直角三角形，且，如下图所示：，所以，为等边三角形，则，由勾股定理可得，故选D8已知，的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是（ ）A7BC21D【答案】C【解析】由题意，二项式的
4、展开式中二项式系数的和为128，可得，解得，所以二项式，则展开式的通项为，当时，可得，所以展开式中的系数是，故选C9甲、乙、丙人从楼乘电梯去商场的到楼，每层楼最多下人，则下电梯的方法有（ ）A种B种C种D种【答案】D【解析】分两种情况讨论：每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为；3人中有2人从一个楼层下，另1人从其它楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为，由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法种数为种，故选D10已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意，设，则，又由，所以，即函数在R上单调递增，则，即，变形可得，故选A11已
5、知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）A6B7C8D9【答案】C【解析】由双曲线方程，得，所以渐近线方程为，比较方程，得，所以双曲线方程为，点，记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以，所以，由两点之间线段最短，得最小为，因为点在圆上运动，所以最小为点到圆心的距离减去半径1，所以，所以的最小值为8，故选C12在三棱锥中，平面，若P，Q分别是，的中点，则平面被三棱锥的外接球所截得的截面面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，知球心O为中点，故球O的直径，因为平面，设球心O到平面的距离为d，截面圆的半径为r，由题设球心O到平面的距离
6、等于点S到平面的距离等于点B到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法得，所以，故截面面积为，故选A第卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知实数m，n满足，则直线必过定点_【答案】【解析】由已知得，代入直线，得，即，由，解得，直线必过定点，故答案为14的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_【答案】【解析】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，又，所以，因为，由余弦定理得，解得，故答案为15如图所示，满足如下条件：第行首尾两数均为；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第行的第2个数是_【答案】【解析】由图表可知第行的第2个数为：，故答案为16设函数，若存在唯一的整数使得，
7、则实数m的取值范围是_【答案】【解析】由题意知：函数定义域为，且，当时，单调递增，显然不止有一个整数使，不合题意；当时，要使，则，令，则，有，易知上，单调递增，上，单调递减，且；令，过定点，图象如下：要使存在唯一的整数使得，即的解集只有一个整数，则与的一个交点在、之间（含），当过时，可得；当过时，可得，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知的内角，的对边分别为，且满足（1）求；（2）若，为边的中点，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）中，内角，的对边分别为，且利用正弦定理得，整理得，即，由于，所以（2）因为的面积为，解得
8、，在中，两边同平方得：，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为18（12分）我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95（分别阻挡不少于和的到微米的氯化钠颗粒）两种某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下表：总分KN9061442317KN95464
9、7358（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，求生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意知生产KN90口罩合格率为，生产KN95口罩合格率为（2）设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和，利润和不少于7元有两种可能性，一是KN90不合格，KN95合格，则；二是KN90和KN95均合格，则，其他情况利润和是小于7元的，故生产一个KN90口罩和生产一个KN9
10、5口罩所得利润和不少于7元的概率为19（12分）已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接延长交于点，连接，因为是的重心，所以，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为，所以，在中，为的中点，所以为等腰三角形，可得，延长交于点，则为的中点，且，所以，所以，因为，所以两两垂直，建系如图所示：可得，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为20（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过
11、原点O的动直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，且（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线交C于A，B两点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）3【解析】（1）根据对称性知，MN与互相平分，则四边形为平行四边形，则，又，结合椭圆定义知，故，由离心率，故，椭圆方程为（2）设，AB的直线方程为，联立椭圆方程，化简得，则，则的面积为，令，则上式，函数在时，单调递增，则上式在，即时取得最大值，且最大值为21（12分）已知函数，其中（1）讨论函数的单调性；（2）记函数的导函数为当时，若满足，证明：【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由函数的定义域为，且，当时，则当时，恒成立，
12、所以在上单调递减，无单调递增区间；当时，令，可得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由函数，可得因为满足，可得，即，又由，欲证，即证，即证，即证，因为，设，即证，设，可得在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，即成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且，求直线l的倾斜角【答案】（1），；（2）或【解析】（1）因为的参数方程为，所以，所以的普通方程为，又因为，所以，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入中，得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以或，所以直线倾斜角为或23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知，且满足（1）证明：；（2）证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以（2），所以，所以，即，当且仅当等号成立
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