1、1(2019东海中学质检)已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解 (1)由题意得a11，b11，b2，a21，所以P2所以直线l的方程为，即2xy1(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1，kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn都在直线l上2(2019南京市四校联考)已知平面内有n(n2，nN*)
2、条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设这n条直线将平面分成f(n)个区域，如f(2)4，f(3)7(1)试猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法加以证明；(2)请用类比的方法，写出n个平面将空间最多分成多少个部分(不要求证明)(注：122232n2)解 (1)通过画图可求出f(4)11，f(5)16，观察发现：f(3)f(2)3，f(4)f(3)4，f(5)f(4)5猜想f(n)f(n1)n，进而用累加法求得f(n)f(2)n(n1)3，所以f(n)1下面用数学归纳法证明当n2时，f(2)4显然成立；假设当nk(k2，kN*)时成立，即f(k)1，则当nk1时，因为第k1条直线与前面的k
3、条直线都不平行，而且也不交于同一点(因为任意三条直线不共点)，所以第k1条直线与其他k条直线有k个交点，这k个交点将第k1条直线分成k1段，其中每一段都将所在区域一分为二，所以增加了k1个区域，所以f(k1)f(k)k1，由归纳假设得，f(k1)f(k)k1k1111，即当nk1时也成立综合，得f(n)1对任意的n(n2，nN*)均成立所以f(n)1(n2，nN*)(2)设这n个平面将空间最多分成g(n)个部分，当这n个平面任意两个不平行，任意三个不共线(即交线不重合)时才能最多，用类比法得g(n1)g(n)f(n)，从而求得g(n)4f(2)f(n1)3(2019南通市高三模拟)已知函数f0
4、(x)x(sin xcos x)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明解 (1)因为fn(x)为fn1(x)的导数，所以f1(x)f0(x)(sin xcos x)x(cos xsin x)(x1)cos x(x1)(sin x)，同理，f2(x)(x2)sin x(x2)cos x(2)由(1)得f3(x)f2(x)(x3)cos x(x3)sin x，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为f1(x)(x1)sin(x1)cos，f2(x)(x2)sin(x2)cos，f3(x)(x3)sin
5、(x3)cos，猜测fn(x)(xn)sin(xn)cos(*)下面用数学归纳法证明上述等式当n1时，由(1)知，等式(*)成立假设当nk(k1，kN*)时，等式(*)成立，即fk(x)(xk)sin(xk)cos则当nk1时，fk1(x)fk(x)sin(xk)coscos(xk)(xk1)cosx(k1)x(k1)sinx(k1)cos，即当nk1时，等式(*)成立综上所述，当nN*时，fn(x)(xn)sin(xn)cos成立4(2019江苏名校高三入学摸底)设fn(x)1x(nN*)，记集合Mnx|fn(x)0的元素个数是mn(1)求m1，m2，m3，m4；(2)求mn，并用数学归纳法
6、证明解 (1)因为f1(x)1x0，x1，所以m11；因为f2(x)1x0，1410，所以f3(x)在R上单调递增，又f3(2)1220，则f3(x)在R上有唯一的零点，即m31；因为f4(x)1x，f4(x)1xf3(x)，所以f4(x)有唯一的零点，设为x0，x0(2，0)，则当xx0时，f4(x)x0时，f4(x)0，f4(x)单调递增，所以f4(x)minf4(x0)f3(x0)0，所以f4(x)0无解，m40(2)猜想：当n为偶数时，mn0；当n为奇数时，mn1下面用数学归纳法证明当n为奇数时，fn(x)在R上单调递增，且值域为R；当n为偶数时，fn(x)0恒成立，这里fn(x)1x
7、(nN*)，求导得fn(x)1xfn1(x)(nN*)由(1)知，当n1，2时，结论成立假设当nk1(k2，kN*)时，结论成立，则当nk时，当k为偶数时，fk(x)1x(kN*)，fk(x)fk1(x)，因为k1为奇数，由归纳假设得fk1(x)在R上单调递增，且值域为R，所以方程fk1(x)0有且仅有一个实数根，设为x0(x00)，当xx0时，fk(x)x0时，fk(x)0，fk(x)单调递增，所以fk(x)minfk(x0)fk1(x0)0，所以fk(x)0无解，mk0当k为奇数时，k1为偶数，由归纳假设得fk1(x)0，知fk(x)fk1(x)0，fk(x)在R上单调递增又k为奇数，所以fk(x)的值域为(，)，所以方程fk(x)0有且仅有一个实数根，即mk1综合可得结论成立