1、5.4数列的应用学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解分期付款的两种计算方式(重点)2.掌握政府支出的“乘数”效应的相关知识(重点)3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题(难点、易错点)1.通过分期付款及政府支出的“乘数”效应的学习，培养逻辑推理的素养.2.借助数列的递推关系解决数列问题，形成数学建模的素养.我国现代都市人的消费观念正在变迁我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活，在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段，为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务
2、，究竟选择什么样的方式好呢？分期还款与数列(1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额(贷款本金已还本金总额)利率(2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还每期还款金额，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等差数列()(2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成一个等比数列()(3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数”效应()答案(1)(2)(3)2某件产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是()Aa(1q
3、%)3Ba(1q%)3C. D.C设现在的成本为x，则x(1q%)3a，故x.3(一题两空)(教材P43例1改编)自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还_元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约_元(1.05101.628 89)29 00025 901如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000(200 00020 000)5%29 000元如果采用“等额本息还款法”每年应还25 901(元)4今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年投入
4、资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金_万元(1.371)设第n年投入资金为an万元，由题意可知an1an(130%)1.3an.an为首项a1500，公比为1.3的等比数列，S7(1.371)等差、等比数列模型的应用【例1】一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75
5、米吗？请说明理由解(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a115，d2的等差数列，则Snna1d15n(2)n216n.当n8时，(Sn)maxS864.即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米(2)不能超过由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b115，q0.8的等比数列，则Sn75(10.8n)0，又由面包总数为120，且较多的三份之和的是较少的两份之和，则有 ，解得a24，d6，则a2d12.即最少的一份面包个数为12，故选B.2现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为()A9 B10 C19 D29B把200根相同的钢管堆放成一
6、个正三角形垛， 正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，正三角形垛所需钢管总数为Sn1234n，令Sn2且nN)，A1A21.2某企业投资1千万用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业竞争激烈，每年底需要从利润中拿出资金200万做科研，方能保持原有的利润增长率试建立第n年资金an与第n1年资金an1间的递推关系提示anan1(125%)200.【例3】已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期
7、一会有40%改选A种菜用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a12 000.(1)请用an，bn表示an1与bn1；(2)证明：数列an2 000是常数列解(1)由题意知：an1anbn，bn1anbn.(2)证明：an1anbn，且anbn3 000，an1an(3 000an)，an1an1 200，an12 000(an2 000)，又a12 0000，数列an2 000是常数列. 求解此类问题的关键是依据题设条件，巧借an及an1即抓住数列前后两项(几项)的数量关系，建立递推关系anpan1q，在此基础上借助数列知识给予解答，常用的方法便是待定系数法和构造等比数
8、列法.4某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合以上两次混合过程完成后算完成一次操作设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 20.301，lg 30.477)(1)请计算a1，b1，并判定数列anbn是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；(2
9、)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？解(1)由题意，得b10.65 g/ml，a11.55 g/ml.当n2时，bn(300bn1100an1)(3bn1an1)，an(200an1100bn)(3an1bn1)，anbn(an1bn1)，等比数列anbn的公比为，其首项a1b11.550.650.9，anbn0.9.(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.917.49，至少要操作8次才能达到要求.1本节课的重点是应用数列知识解决实际问题，难点是如何化实际问题为数学问题，转化的关键是明确题设信息，利用递推关系式方程思想建立等量关系2明确分期付款中的两
10、种常见方式：等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型3以数列知识为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地解决此类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系1有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍，已知最上面一层点了3盏，则共点盏数为()A192 B381 C189 D63B根据题意，设每层点的灯数组成数列an，分析可得an是公比为2的等比数列，且a13，则S7381，故选B.2某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为()A20(1.01)5万B20(1.01)4万C20万D20
11、万A某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇的人口数为20(11%)，2年后这个小镇的人口数为20(11%)2，3年后这个小镇的人口数为20(11%)3，4年后这个小镇的人口数为20(11%)4，5年后这个小镇的人口数为20(11%)520(1.01)5.故选A.3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过_年，剩余下的物质是原来的.3经过一年，剩留物质为原来的，经过二年，剩留物质为原来的()2，经过三年，剩留物质为原来的()3，则经过3年，剩余下的物质是原来的.4周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水
12、、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为_尺45设数列为an，公差为d，a1a4a73a19d31.5，S99a136d85.5，解得a113.5，d1，立夏日影长为a104.5. 5一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为多少解根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)15，孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)，可以看成是以a(1r)为首项，(1r)为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数Sa(1r)17a(1r)16a(1r)(1r)18(1r)