1、华中师大一附中20152016学年度第二学期期中检测高二年级数学（理科）试题时限：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1复数在复平面内对应的点所在的象限是 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，且，则这个 正态总体的期望与标准差分别是 A10与4 B10与2C4与10D2与103函数的大致图象是 4袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次不放回地任意取出1个球，直到取出的 球是白球为止，设所需要的取球次数为，则随机变量的所有可能值为 A1, 2, , 6 B1, 2, , 7 C1, 2, ,
2、 11 D1, 2, 3, 5设点P在曲线上，点Q在曲线上，则最小值为 ABCD6若复数，则的值为 ABCD27若是定义在(0，+)上的非负可导函数，且满足对任意正数，若, 则必有 A B C D8若，且，则等于 A B C D9已知随机变量的概率分布如下：12345678910Pm 则(=10)等于 ABC D10设为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率是 A2 BCD11甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中 的概率为0.6，而且每次不受其它次投篮结果的影响，甲投篮的次数为，若甲先投，则 ABCD12已知，且，现给出如下结论：；其中正确结论的序
3、号为A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13= _14已知复数是实数，则=_15已知，若存在，使得成立，则实数的取 值范围是_16若函数的图像关于直线对称，则的最大值是_三、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第1822每小题12分共70分)17已知复数，若是实数，求实数的值18已知甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至 少有一名志愿者 （1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （3）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列19已知函数 （1）若曲线与曲线
4、在它们的交点处具有公共切线，求的值； （2）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围20某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如 果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 （单位：枝，）的函数解析式； （）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 （i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列， 数学期望及
5、方差； （ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说 明理由21已知M为ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设 ，记 （1）求函数的表达式； （2）设，若对任意， 总存在，使得成立，求实数a 的取值范围 22已知函数 （1）当时，求证：； （2）在区间(1, e)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，求证：N*)高二年级数学(理科)试题参考答案一、选择题1. D 2. B 3. B 4. B 5. B 6. B 7.A 8. B 9. C 10. D 11. B 12. D二、填空题13. 14. 15. 16. 16
6、三、解答题17由题得2+1+3=6分 9分 a=310分18(1)记事件M=甲、乙两人同时参加A岗位服务所求概率为P(M)= 3分 (2)记事件N=甲、乙两人同时参加同一个岗位服务P(N)=所求概率=1P(N)=6分(3)随机变量可能取的值为1，2P(=2)=P(=1)=1P(=2)=9分的分布列为12P 12分19. (1)曲线yf(x)ax21与曲线yg(x)x3bx交于点(1，c) a+1=c，b+1=c a=b1分 f(x)ax21(a0) f(x)2ax，f(1)a1 f(1)2a 公切线方程为y(a+1)2a(x1)，即y=2ax(a1)3分 又g(x)x3bx g(x)3x2b，
7、g(1)=b+1 g(1)b+3 公切线方程为y(b+1)(b+3)(x1)，即y=(b+3)x25分 比较两条公切线的方程知 ab3.7分 (2)记h(x)f(x)g(x)，则当a3，b9时，h(x)x33x29x1 h(x)3x26x93(x+3)(x1)8分x(，3)3(3，1)1(1，2)2h(x)00H(x)2843 10分 又函数h(x)在区间k，2上的最大值为28h(3) k的取值范围是(，312分20. ()y=2+2=4分(不会写分段函数扣1分) ()(i)X可取60，70，80 P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X=80)=0.76分 的分布列为6070800.1
8、0.20.7 7分 E(X)=600.1+700.2+800.7=76 8分 D(X)=(6076)20.1+(7076)20.2+(8076)20.7=44 9分 或者：D(X)=E(X2)E2(X)=6020.1+7020.2+8020.7762=44 (ii)购进17枝时，当天的利润Y可取55，65，75，85 且P(Y55)0.1，P(Y65)0.2，P(Y75)0.16，P(Y85)0.54 E(Y)550.1+650.2+750.16+850.5476.411分 E(Y)76.476=E(X) 应购进17枝12分21. (1) 过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q 0x1，0y
9、11分 又=x，=y =(+)=+2分 又P、M、Q三点共线 +=1 y=f(x)= 3分 由 得 x14分 y=f(x)=，x，1 5分说明：如果认为P、Q、A可以重合而得出“y=f(x)=，x0，1”，不扣分.(两种结果第二问的解答一样，不受影响)解法2：由题得=+=+=(+)+x=(x) 1分同理=+(y)2分又， (x)(y)=()y=f(x)=3分后同解法1(2)f(x)=+在，1内是减函数f(x)min=f(1)=，f(x)max=f()=1即函数f(x)的值域为，17分g(x)=3x2+3a20g(x)在0，1内是增函数g(x)min=g(0)=2a，g(x)max=g(1)=3
10、a2+2a+1g(x)的值域为2a，3a2+2a+19分由题设得，12a，3a2+2a+1则 11分解得a的取值范围是(，0， 12分22(1)令g(x)=f(x)1a(1)=lnx1+(x0)g(x)=(x0)1分它在(0，1)内为负，在(1，+)内为正g(x)在(0，1)内递减，在(1，+)内递增2分g(x)min=g(1)=0x(0，+)，g(x)=f(x)1a(1)=lnx1+0又a0f(x)1a(1)3分(2)令h(x)=f(x)x=alnx+1x(1xe)则h(x)=1=(1xe)4分1当ae时x(1，e)，h(x)0h(x)在(1，e)内是增函数x(1，e)，h(x)h(1)=0
11、5分ae符合2当1ae时h(x)在(1，a)内为正，在(a，e)内为负h(x)在(1，a)内递增，在(a，e)内递减x(1，e)，f(x)xe1ae 6分3当a1时h(e)=a+1e0a1舍7分综合123得ae1 8分解法2：x(1，e)，f(x)xx(1，e)，alnx+1xx(1，e)，a4分设i(x)=(x(1，e)i(x)=0(由(1)知)6分i(x)在(1，e)内是增函数7分又i(e)=e1再由得ae1 8分(3)由(1)知x(0，+)，lnx1，当且仅当x=1时取等号当a=时，f(x)=lnx+1=ln+1当kN*，k2时f(k)=ln+1(1)+1=2 2=2+22 10分f(2
12、)+f(3)+f(n+1)(2+22)+(2+22)+(2+22)=2(n+1)12分证法2：设j(x)=lnx1+22，x2，+)j(x)=+=它在x3时恒正j(x)在3，+)内单增x3，+)，j(x)j(3)=ln31+220又j(2)=ln23+20x2，+)，j(x)=lnx1+220kN*且k2，f(k)=lnk+122+210分后同证法1(设j(x)=ln(x+1)1+22，x1，+)等，效果是一样的)证法3：当a=时，f(x)=lnx+1f(2)+f(3)+f(n+1)=ln(n+1)!+n只需证：ln(n+1)!+n2(n+1)只需证：ln(n+1)!2(n+22)，nN*9分下面用数学归纳法证明：1当n=1时左边=ln20.69，右边=2(32)0.34 此时式成立2假设当n=k时，式成立，即ln(k+1)!2(k+22)由(1)知x(0，+)，lnx1，当且仅当x=1时取等号ln1=11=1+2211分当n=k+1时，左边右边=ln(k+2)!2(k+32)=ln(k+1)!+ln(k+2)2(k+32)2(k+22)+ln(k+2)2(k+32)=ln(k+2)2(1+22)=2ln(1+22)0即当n=k+1时，结论也成立综合12，得证得证12分
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