1、第2课时零点的存在性及其近似值的求法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤(难点)3理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题(重点、难点)1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养2通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养3理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.1函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间a，b
2、中至少有一个零点，即x0a，b，f(x0)0.2二分法的定义 (1)二分法的条件：函数yf(x)在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0.(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解3用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)在a，b上的零点近似值的步骤是：第一步检查|ba|2是否成立，如果成立，取x1，计算结束；如果不成立，转到第二步第二步计算区间a，b的中点对应的函数值，若f0，取x1，计算结束；若f0，转到第三
3、步第三步若f(a)f0，将的值赋给b，回到第一步；若ff(b)0，将的值赋给a，回到第一步 1下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31Bf(x)ln x3Cf(x)x22x2 Df(x)x24x1C因为f(x)x22x2(x)20，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点2若函数f(x)在区间a，b上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是()A函数f(x)在区间a，b上不可能有零点B函数f(x)在区间a，b上一定有零点C若函数f(x)在区间a，b上有零点，则必有f(a)f(b)0D若函数f(x)在区间a，b上没有零点，则必有f(a)f(b)0D函数f(x)在区间
4、a，b上为单调函数，如果f(a)f(b)0，可知函数在(a，b)上有一个零点，如果f(a)f(b)0，可知函数在a，b上没有零点，所以函数f(x)在区间a，b上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；函数f(x)在区间a，b上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；若函数f(x)在区间a，b上有零点，则可能f(a)f(b)0，也可能f(a)f(b)0所以C不正确；若函数f(x)在区间a，b上没有零点，则必有f(a)f(b)0，正确；故选D.3用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是()A越大，零点的精确度越高 B越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是 D重复计算次数与无关B依“二分
5、法”的具体步骤可知，越大，零点的精确度越低4若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，而由f(1)f(2)f(4)0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.(0,4)上有零点判断函数零点所在的区间【例1】求证：方程x44x20在区间1,2内至少有两个实数解证明设f(x)x44x2，其图像是连续曲线因为f(1)30，f(0)20，f(2)60，所以方程在(1,0)，(0,2)内都有实数解从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论此类问题的难点往往是函数值符
6、号的判断，可运用函数的有关性质进行判断1若函数yf(x)在区间a，b上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a，b)使得f(c)0B若f(a)f(b)0，则存在且只存在一个实数c(a，b)使得f(c)0C若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)使得f(c)0D若f(a)f(b)0，则有可能不存在实数c(a，b)使得f(c)0C对于A选项，可能存在，如yx2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在 对二分法概念的理解【例2】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()B利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值
7、异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.对“函数在区间a，b上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.2如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是()A(2.1，1)B(1.9,2.3)C(4.1,5) D(5,6.1)B只有B中的区间所含零点是不变号零点用二分法求函数零点【例3】求函数f(x)x25的负零点(
8、精确度为0.1)解由于f(2)10，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.062 5(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函数的一个近似负零点可取2.25.利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.(3)根
9、据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.3证明函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)解由于f(1)10，又函数f(x)在1,2内是增函数，所以函数在区间1,2内有唯一零点，不妨设为x0，则x01,2下面用二分法求解(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.187 5f(1.125)0f(1.187 5)0因为|1.187 51.25|0.062
10、 50.1，所以函数f(x)2x3x6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.用二分法求方程的近似解【例4】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度为0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0
11、.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法
12、求函数零点近似值的步骤求解4.求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)x22x1.f(2)10.在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0x0(2.375,2.5)；f(2.375)0x0(2.375,2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步
13、逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.1函数yx28x16在区间3,5上()A没有零点B有一个零点C有两个零点 D有无数个零点B令x28x160，得x4，故函数yx28x16在3,5上有一个零点2.用二分法求函数f(x)x3x22x2的一个正零点的近似值(精确到0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)2，f(1.5)0.625，f(1.25)0.984，f(1.375)0.260，关于
14、下一步的说法正确的是()A已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似C没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)D没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)C由由二分法知，方程x3x22x20的根在区间(1.375,1.5)，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)故选C.3函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案B4.用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间an，bn上，当|anbn|时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过A B.C2 D.B根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|anbn|时，区间an，bn的中点xn(anbn)就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过.故选B.