1、第八篇 平面解析几何(必修2、选修2-1)第 6 节 曲线与方程 最新考纲1.了解曲线与方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.返回导航返回导航【教材导读】1f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件吗？提示：是如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，则曲线 C 的点的坐标满足 f(x，y)0，以 f(x，y)0 的解为坐标的点也都在曲线 C 上，故 f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件2方程 y x与 xy2 表示同一曲线吗？提
2、示：不是同一曲线1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的_都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做_；这条曲线叫做_返回导航坐标曲线的方程方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p(M)；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0，并化简；(4)查漏补缺3求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法也叫直译法，即根据
3、题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简返回导航(2)定义法先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程(3)代入法也叫相关点法，其特点是，动点 M(x，y)与已知曲线 C 上的点(x，y)相关联，可先用 x，y 表示 x、y，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程(4)参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程返回导航【重要结论】1如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，那么点 P0(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)0.2“曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线”是“曲线
4、 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”的充分不必要条件3两条曲线有交点的充要条件是两条曲线的方程所组成的方程组有实数解返回导航1已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x，y)0 的解”是正确的，则下列命题中正确的是()(A)满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上(B)方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程(C)方程 f(x，y)0 所表示的曲线不一定是曲线 C(D)以上说法都正确返回导航C 解析：曲线 C 可能只是方程 f(x，y)0 所表示的曲线上的某一部分，故选 C.2方程(2x3y1)(x31)0 表示的曲线是()(A)两条直线(B)两条射线(C)两条线段(D
5、)一条直线和一条射线返回导航D 解析：原方程化为2x3y10，x30，或 x310，2x3y10(x3)或 x4.故选 D.3已知点 M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M，N 与圆 C 相切的两直线(非 x 轴)相交于点 P，则点 P 的轨迹方程为()(A)x2y281(x1)(B)x2y281(x1)(C)x2y281(x0)(D)x2y2101(x1)返回导航A 解析：由题可知，|PM|PN|BM|BN|2，由双曲线的定义可知点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，由 c3，a1，知 b28.点 P 的轨迹方程为 x2y281(x1
6、)故选 A.返回导航4设点 A 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形 C 的距离已知点 A(1,0)，圆 C：x22xy20，那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是()(A)双曲线的一支(B)椭圆(C)抛物线(D)射线返回导航D 解析：圆的标准方程为(x1)2y21，如图所示，设圆心坐标为 A，满足题意的点为点，由题意有：|PA|1|PA|1，则|PA|PA|2|AA|，设 B(2,0)，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线 AB.故选 D.返回导航5设 P 为双曲线x24y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP的中点，则点 M 的轨迹
7、方程是_返回导航解析：设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x24y21.答案：x24y21返回导航考点一 定义法求轨迹方程 已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆 M 圆心的轨迹方程解析：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆C2 分别外切于点 A 和点 B，则有|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，又|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312，即动点 M 到两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2，且 2|C1C2|6，|MC2|MC1|，故动圆 M 圆心的轨迹为
8、以定点 C2，C1 为焦点的双曲线的左支，则 2a2，所以 a1，又 c3，则 b2c2a28.设动圆 M 圆心的坐标为(x，y)，则动圆 M 圆心的轨迹方程为 x2y281(x1)返回导航【反思归纳】定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制返回导航【即时训练】(1)已知圆 P 过点 A(1,0)且与直线 l：x1 相切，则圆心 P 的轨迹方程为_(2)若动圆 P 过点 N
9、(2,0)，且与另一圆 M：(x2)2y28 相外切，则动圆 P 的圆心的轨迹方程是_返回导航解析：(1)设动圆半径为 r，P 到 l 的距离为 d，则由题意知，|PA|r，dr，故|PA|d，又因为 A l，所以由抛物线的定义可知，点 P 的轨迹是以 A 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y24x.(2)因为动圆 P 过点 N(2,0)，所以|PN|是动圆的半径又因为动圆 P 与圆 M 相外切，所以有|PM|PN|2 2，即|PM|PN|2 2b0)上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ PF1 PF2，则动点 Q 的轨迹方程是_返回导航解析：由OQ PF1 PF
10、2，又PF1 PF2 PM 2PO2OP，设 Q(x，y)，则OP 12OQ 12(x，y)x2，y2，即 P 点坐标为x2，y2，又 P 在椭圆上，则有x22a2 y22b2 1，即 x24a2 y24b21.返回导航答案：x24a2 y24b21求轨迹方程(2018 山东高考专家原创卷)已知抛物线 y22px 经过点 M(2，2 2)，椭圆x2a2y2b21 的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OP|OQ|(0)，试求 Q 的轨迹返回导航解：(1)因为抛物线 y22px
11、 经过点 M(2，2 2)，所以(2 2)24p，解得 p2.(第 1 步：代入法求 p)所以抛物线的方程为 y24x，其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得 c1.又椭圆的离心率为12，所以 a2，可得 b2413，故椭圆的方程为x24y231.返回导航(第 2 步：利用椭圆性质求方程)(2)设 Q(x，y)，其中 x2,2，设 P(x，y0)，因为 P 为椭圆上一点，所以x24y2031，解得 y20334x2.(第 3 步：寻找 P 点与 Q 点间的坐标关系)由|OP|OQ|可得|OP|2|OQ|22，故x2334x2x2y22，得214 x22y23，x2,2返回导航
12、(第 4 步：把已知等式转化为坐标，整理方程)当 214，即 12时，得 y212，点 Q 的轨迹方程为 y2 3，x2,2，此轨迹是两条平行于 x 轴的线段；当 214，即 012时，得到x231214y2321，此轨迹表示实轴在 y轴上的双曲线满足 x2,2的部分；返回导航当 214，即 12时，得到x231214y2321，此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2的部分(第 5 步：根据 x2 系数讨论曲线特征)返回导航答题模板：第一步：确定圆心半径，设出动点坐标第二步：利用相切确定等量关系|PM|PN|4.第三步：利用定义去求出曲线 C 的方程第四步：确定半径最长时圆 P 的方程第五步：求 l 的倾斜角为 90时|AB|2 3.第六步：求 l 的倾斜角不为 90时，利用弦长公式求得|AB|.返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！