1、专题突破练9三角恒等变换与解三角形一、单项选择题1.(2021深圳高级中学月考)在钝角ABC中,AB=2,sin B=,且ABC的面积是,则AC=() A.B.2C.D.2.(2021辽宁大连二模)若tan,则=()A.-B.-3C.D.33.(2021山东日照期中)已知ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中R为ABC外接圆的半径,若3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,则sin Asin B-cos Acos B=()A.B.C.-D.-4.(2021海南二模)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也
2、可以用2sin 18表示.若实数n满足4sin218+n2=4,则=()A.B.C.D.5.(2021江西南昌期末)“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面点D看楼顶点A的仰角为30,沿直线前进79 m到达点E,此时看点C的仰角为45,若BC=2AC,则楼高AB约为()m.A.65B.74C.83D.926.(2021河北邯郸期末)已知cos +sin 2=,sin +sin cos =,则cos(+2)=()A.B.C.D.-7.
3、(2021湖南长沙模拟)小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得P1P2D=,P2P1D=,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是()DP1C和DCP1;P1P2C和P1CP2;P1DC和DCP1.A.B.C.D.8.(2021吉林月考)如图,正三角形ABC的边长为4,D,E,F分别在边AB,BC和CA上(异于端点),且D为AB的中点.若EDF=120,则四边形CFDE的面积为()A
4、.2B.C.3D.无法确定二、多项选择题9.(2021山东师大附中期末)若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a+4asin2=0,则下列结论正确的是()A.角C一定为锐角B.a2+2b2-c2=0C.3tan A+tan C=0D.tan B的最小值为三、填空题10.(2021北京延庆模拟)已知ABC的面积为2,AB=2,B=,则=.11.(2021山西运城模拟)已知tan ,tan-是方程x2+ax-3=0的两个根,则a=.12.(2021广东揭阳一模)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2,a2=2b2+c2,则ABC的面积的最大值为.1
5、3.(2021山东潍坊一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,PBA=QAB=60,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时AOB=.专题突破练9三角恒等变换与解三角形1.C解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.依题意,三角形ABC是钝角三角形,c=2,sin B=,SABC=acsin B=,解得a=1,a0,所以C为锐角,符合题意,故AC=2.A解析 因为,由于cos =1-2sin2,sin =2sincos,所以=-tan=-3.C解析 由正弦定理=
6、2R,得sin A=,sin B=,sin C=,代入3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,得=6R,化简得3a2+3b2+4ab=3c2,即a2+b2-c2=-ab,所以cos C=-故sin Asin B-cos Acos B=-cos(A+B)=cos C=-4.A解析 5.B解析 设AC=x(x0),则由已知可得AB=3x,BE=BC=2x,BD=3x,所以DE=BD-BE=3x-2x=79,解得x=24.7,所以楼高AB324.7=74.174(m).6.C解析 由cos +sin2=知2cos -cos 2=2,因为sin +sin cos =,所以2si
7、n +sin 2=,将两个等式平方相加得4+1-4cos(2+)=4+,解得cos(+2)=7.D解析 根据题意,P1P2D的三个角和三条边均可以求出,中,故CD=,故可以求出CD;与条件等价.中,在P1P2C中,故P1C=,在P1CD中,利用余弦定理求解CD即可.8.C解析 设BDE=(060),在BDE中,由正弦定理得DE=,则SBDE=DEDBsin =在ADF中,FDA=60-,由正弦定理得DF=,SADF=DFADsin(60-)=,所以SBDE+SADF=,所以四边形CFDE的面积为SABC-(SADF+SBDE)=4=39.BC解析 b-2a+4asin2=0,b-2a+4asi
8、n2=0,b-2a+4acos2=0,b-2a+4a=0,b+2acos C=0,cos C0,角C一定为钝角,A错误;b+2acos C=0b+2a=0a2+2b2-c2=0,B正确;b+2acos C=0sin B+2sin Acos C=03sin Acos C+cos Asin C=03tan A+tan C=0,C正确;tan B=-tan(A+C)=,经检验“=”取得到,D错误,综上选BC.10解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则AB=2=c,SABC=acsin B=a2=2,解得a=4,b2=a2+c2-2accos B=16+4-242=12,b=2,11.-4
9、解析 因为tan ,tan是方程x2+ax-3=0的两个根,所以tan +tan=-a,tan tan=-3,=a2-4(-3)0,所以tan=tan=-=1,故a=-4.12解析 由余弦定理及题意可得a2=b2+c2-2bccos A=2b2+c2=4,所以cos A=-,则sin A=,则ABC的面积S=bcsin A=13.解析 由题意可知,四边形ABPQ为等腰梯形.如图,连接OP,过点O作OMQP垂足为点M,交AB于点C,则OCAB,OM平分AOB,M为线段PQ的中点.设AOC=,则AB=20sin ,OC=10cos ,设AQ=QP=BP=x,过点Q作QEAB垂足为点E,过点P作PFAB垂足为点F,因为PBA=QAB=60,所以AE=BF=x,CM=PF=x,EF=QP=x,所以AB=2x,所以AB=20sin =2x,即x=10sin ,所以OM=OC+CM=10cos +x=10cos +5sin ,所以OP2=OM2+MP2=(10cos +5sin )2+(5sin )2=100cos2+75sin2+100sin cos +25sin2=100+50sin 2,因为sin 2-1,1,所以当sin 2=1即=时,OP2最大,也就是OP最长,此时AOB=