1、第二部分专题四第1讲(文科)专题训练十六概率一、选择题1(2020安庆模拟)在1,2,3,4中随机选出一个数a，在1，2，3，4中随机选出一个数b，则a2b2被3整除的概率为(C)ABCD【解析】在1,2,3,4中随机选出一个数a，在1，2，3，4中随机选出一个数b，基本事件总数n4416，a2b2被3整除包含的基本事件(a，b)有(3，3)，只有一个，则a2b2被3整除的概率为P.故选C2(2020葫芦岛二模)已知曲线C：x2y22(xy0)，曲线C与坐标轴围成封闭图形M以及函数yx3的部分图象如图所示，若向M内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为(A)ABCD【解析】如图，由对称性可知
2、，两阴影部分的面积和为四分之一圆的面积，由测度比为面积比，向M内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为：.故选A3(2020四川省绵阳市二诊)甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为(B)ABCD【解析】两景点用1,2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1，甲1乙1丙2，甲1乙2丙1，甲2乙1丙1，甲2乙2丙1，甲2乙1丙2，甲1乙2丙2，甲2乙2丙2共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1和甲2乙2丙2两种，所以概率为P.故选B
3、4(2020衡阳模拟)已知菱形ABCD的边长为4，ABC150，若在菱形内任取一点则该点到菱形的顶点距离都大于1的概率是(D)BB1CD1【解析】P1，故选D5(2019内江三模)某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的概率是(A)ABCD【解析】此人从小区A前往C的所有最短路径为：AGBFC，AGOFC，AGOHC，AEOFC，AEOHC，AEDHC，共6条记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：AGBFC，AEDHC，共2条P
4、(M)，即他不经过市中心的概率为.故选A6刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(B)ABCD【解析】如题图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P.7(2020成都期末)在0，上随机取一数x，使cos x的概率为(B)ABCD【解析】满足cos x，的区间长度为，则P，选B8(2020四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“
5、等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(阴影部分)，若在ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)ABCD【解析】设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是DEF的面积是11，勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3，ABC面积为，所求概率P.故选C二、填空题9(2020全国三模)随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1 000元的顾客，可参加抽奖
6、，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是_.【解析】设2个红球分别为A，B,3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，基本事件总数有10个，分别为：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有(A，B)，则顾客获得特等奖的概率是P.10(2020新疆二模)点P是ABC内部任意一点，则PAB的面积小于ABC面积一半的概率为_.【解析】设D，E分
7、别为CB，AC的中点，由题意可知，PAB的面积小于ABC面积一半P，P到BA的距离小于C到BA的距离的一半，P所在的区域为如图DE下方所示的阴影部分，SADESABC，则P11(2019鄂南一中模拟)在RtABC中C90，A45，边BC上任取一点M，则CAM30的概率为_.【解析】设BCa，则P.12(2020乐山模拟)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为_.【解析】设拼成的正方形的面积为1，由图知，最大的三角形面积为，最小的三角形面
8、积为，平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，由此可得阴影部分的面积为，则所求的概率为.三、解答题13(2020和平区校级期末)某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母写出这个试验的样本空间；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X
9、，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M).14(2019贵阳适应性考试)PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解A市空气质量情况，从2018年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示将PM2.5值划分成区间0,100)、100,150)、150,200)、200,250，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率(1)根据2018年的数据估计该市在2019年
10、中空气质量为一级的天数；(2)按照分层抽样的方法，从样本二级、三级、四级中抽取6天的PM2.5数据，再从这6个数据中随机抽取2个，求仅有二级天气的概率【解析】(1)由样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：PM2.5值0,50)50,100)100,150)150,200)200,250频率0.1250.1250.3750.250.125由上表可知，如果A市维持现状不变，那么该市2019年的某一天空气质量为一级的概率为0.25，因此在365天中空气质量为一级的天数约有3650.2591(天)(2)在样本中，按照分层抽样的方法抽取6天的PM2.5值数据，则这6个数据中
11、二级、三级、四级天气的数据分别有3个、2个、1个分别记为A1，A2，A3，B1，B2，C，从这6个数据中随机抽取2个，基本事件为：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，C，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，C，A3，B1，A3，B2，A3，C，B1，B2，B1，C，B2，C，共15个基本事件，事件A“仅有二级天气”包含A1，A2，A1，A3，A2，A33个基本事件，故所求概率为P(A).15(2019南宁一模)某电子商务平台的管理员随机抽取了1 000位上网购物者，并对其年龄(在10岁到69岁之间)进行了调查，统计情况如下表所示.年龄10,20)20,30)30,40)
12、40,50)50,60)60,70)人数100150a200b50已知30,40)，40,50)，50,60)三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列(1)求a，b的值；(2)若将年龄在30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率【解析】(1)由题意得，解得a400，b100(2)由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为a1，a2，a3，有2人是消费潜力军，分别记为b1，b2记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A.从这5人中抽取2人所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10种符合事件A的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共7种故所求概率为P(A).