1、2021届高三复习数学名校联考质检卷精编（8）立体几何1.在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积是( )A B CD 2.已知三棱锥，是边长为4的正三角形，二面角的正切值为，则三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 3.在四面体中，和均是边长为1的等边三角形，已知四面体的四个顶点都在同一球面上，且是该球的直径，则四面体的体积为( )A. B. C. D. 4.在三棱锥中，平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则的最大值为( )AB32C50D645.在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.B.C.D.6.三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面
2、上.若是等边三角形，平面平面， ，则三棱锥体积的最大值为( )A.2B.3C.D.7.在日常生活中，石子是我们经常见到的材料. 现有一棱长均为3的正四棱锥石料的顶角和底面一个角损坏，某雕刻师计划用一平行于底面的截面截四棱锥分别交于点，做出一个体积最大的新的四棱锥为底面的中心，则新四棱锥的表面积为( )A. B. C. D. 8.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点（点不与点，重合），过点作平面分别与棱交于两点，若，则下列说法正确的是( )A平面 B 存在点，使得平面 C 存在点，使得点到平面的距离为 D用过，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形9.（多选）如图，在长方体中，分
3、别为棱，的中点，则( )A.四点共面B.平面平面C.直线与所成角的为60D.平面10.（多选）长方体中，点在线段上运动，则下列命题正确的是( )A.直线与平面所成的角为B. 直线和平面平行C.三棱锥的体积为D.二面角所成的角为定值11.已知是球的球面上的四个点，平面，则球的表面积为_12.已知三棱锥，平面，则三棱锥外接球的体积为_.13.在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：截面的面积等于；截面是一个五边形；截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交其中，所有正确结论的序号是_14.如图，在四棱锥中，底面是菱形，.（1）证明：；（2）若，求直
4、线与平面所成角的正弦值15.如图，多面体中，平面平面，且. (1)设是线段上的点，求证；(2)求点到平面的距离.答案以及解析1.答案：B解析：如图，设为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心。.设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.故选：B2.答案：A解析：设，取中点，连接。因为是的中点，所以，则为二面角的平面角，在直角三角形中，所以，所以在直角三角形中，所以，所以，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的体积为3.答案：B解析：在四面体中，和均是边长为1的等边三角形，四面体的四个顶点都在同一球面上，且是该球的直径，平面，四面体的体积为：故选：B.4.答案：B解析：平面
5、，平面，取的中点为，则，是三棱锥外接球球心，因为该三棱锥的外接球的体积为，所以该球的半径为5，所以，在中，当且仅当时，取最大值32，故选B.5.答案：D解析：取的中点为，分别是正三角形的中心和正方形的中心，是该四棱锥外接球的球心，连接，则在线段上，平面，平面，所以为二面角的平面角，因为平面平面，所以，又，所以，所以四边形为矩形，所以，在直角三角形中，球半径，所以外接球的体积为，故选D.6.答案：B解析：根据可知为所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则所以，所以，当底面的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥的体积最大，此时.7.答案：A解析：因为平面与平面平
6、行，所以四边形与四边形相似，所以四边形为正方形，设 所以，易知四棱锥与四棱锥的高的比为，设，则当时，当时，所以时，取得最大值.此时所以四棱锥的表面积为. 故选A8.答案：ACD解析：连接，易得.对于A，可得正方体中面，即可得平面，故A正确；对于B，可得面面，故不可能平行面.故错；对于C，平面，且，所以存在点，使得点到平面的距离为，故正确；对于D，用过三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形，四边形一定是梯形，故正确.故选：ACD.9.答案：BC解析：如图所示，对于A中，直线是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体中，可得平面，所以平面平面，故B正确；对于C中，取的中点，连接，可知
7、三角形为等边三角形，故C正确；对于D中，因为平面，显然与平面不平行，故D错误.故选：BC.10.答案：BD解析：对于A，长方体中，又，平面，所以平面，所以A不正确；对于B，因为平面与面是同一平面，平面， 平面，所以平面故B正确；对于C，三棱锥的体积还等于三棱锥的体积，又因为，因为，平面平面，所以平面，所以点到平面的距离即为点到该平面的距离，为定值故不 正确；对于D，二面角所成的角就是二面角所成的角，所以D对故选BD11.答案：解析：已知是球的球面上的四个点，平面，如图所示：取的中点，连接，过作面的垂线，设球心为；则，所以；球的表面积为.故答案为：.12.答案：解析： 取的中点，平面，又，平面，
8、为外接球的球心，又，外接球半径，.故答案为：.13.答案：解析：在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，如图所示：所以，由于与相交于，取点为的中点，所以，点为和和的中点，所以，由于，解得，由于为的中位线，所以，由于，所以，所以截面面积为，故错误。如图所示截面是一个五边形；正确。截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交，故正确.故答案为：.14.答案：（1）证明：取中点，连接 四边形为菱形又为等边三角形，又为中点 为中点 平面，平面又平面 （2）以为原点，可建立如图所示空间直角坐标系：由题意知：，则 设平面的法向量，令，则 设直线与平面所成角为.即直线与平面所成角的正弦值为：.15.答案：（1）证明：由已知可得，由余弦定理，；平面平面，平面平面平面，平面.（2）依题意，故，又平面平面，故平面，又平面，即为直角三角形，设点到直线的距离为，则，即，所以点到平面的距离为.