1、第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是()A.1 B.C.1或 D.1或解析当公比q1时，a1a2a37，S33a121，符合要求.当q1时，a1q27，21，解之得，q或q1(舍去).综上可知，q1或.答案C2.过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则的值为()A.a2 B.b2 C.2ab D.a2b2解析当直线PQ与x轴重合时，|a，故选A.答案A3.已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.abcC.abc D.abc解析al
2、og23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a1)为增函数，alog23log221，clog32log331，abc.答案B4.已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)x23x，则函数g(x)f (x)x3的零点的集合为()A.1，3 B.3，1，1，3C.2，1，3 D.2，1，3解析令x0，则x0，所以f (x)(x)23xx23x.因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x)f (x).所以当x0时，f (x)x23x.所以当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.当x0时，g(x)x24
3、x3.令g(x)0，即x24x30，解得x20(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2，1，3.答案D二、填空题5.若数列an的前n项和Sn3n1，则它的通项公式an_.解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12，也满足式子an23n1，数列an的通项公式为an23n1.答案23n16.方程sin2xcos xk0有解，则k的取值范围是_.解析求ksin2xcos x的值域.kcos2xcos x1.当cos x时，kmin，当cos x1时，kmax1，k1.答案7.设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角
4、三形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_.解析若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F2PF190，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2，2.综上所述，2或.答案2或8.已知函数f (x)ax33x1对于x1，1总有f (x)0成立，则a_.解析若x0，则不论a取何值，f (x)0显然成立；当x0即x(0，1时，f (x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)m
5、axg4，从而a4；当x0即x1，0)时，f (x)ax33x10可化为a，g(x)0，g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.答案4三、解答题9.数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解(1)an22an1an0，所以an2an1an1an，所以an1an为常数列，所以an是以a1为首项的等差数列，设ana1(n1)d，a4a13d，所以d2，所以an102n.(2)因为an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0.所以当n5
6、时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tnn29n40，Tna1a2an，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn9nn2.所以Sn10.(2015辽宁五校协作体联考)定义在R上的函数f (x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f (x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数；f (x)是偶函数；f (x)在x0处的切线与直线yx2垂直.(1)求函数yf (x)的解析式；(2)设g(x)ln x，若存在实数x1，e，使g(x)f(x)，求实数m的取值范围.解(1)f (x)3ax22bxc，f (x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上
7、是增函数，f(1)3a2bc0.由f(x)是偶函数得：b0.又f(x)在x0处的切线与直线yx2垂直，f(0)c1.由得：a，b0，c1，即f (x)x3x3.(2)由已知得：存在实数x1，e，使ln xx21，即存在x1，e，使mxln xx3x.设M(x)xln xx3x，x1，e，则M(x)ln x3x22，设H(x)ln x3x22，x1，e，则H(x)6x.x1，e，H(x)0，即H(x)在1，e上单调递减，于是，H(x)H(1)，即H(x)10，即M(x)0，M(x)在1，e上单调递减，M(x)M(e)2ee3，于是有m2ee3，故实数m的取值范围是(2ee3，).11.(2015
8、重庆卷)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，进而|PF1|PQ|QF1|4a，于是(1)|PF1|4a，解得|PF1|，故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，从而4c2，两边除以4a2，得e2.若记t1，则上式变成e28.由，并注意到1关于的单调性，得3t4，即.进而e2，即e.