湖北省武汉市2020届高三数学下学期6月适应性考试试题 文（含解析）.doc

1、湖北省武汉市2020届高三数学下学期6月适应性考试试题 文（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在

2、试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用的次幂运算化简复数，再进行复数模的运算.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查复数的次幂运算和模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知集合，则集合AB中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】集合表示的是单位圆上的点,集合表示的直线上的点,而集合AB中元素的个数就是直线与单位圆交点的个数

3、,所以只需求出圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可【详解】解：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以集合AB中元素的个数为1故选：B【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，集合的交集运算，属于基础题。3.已知x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 11B. 2C. 6D. 1【答案】D【解析】【分析】首先画出函数可行域，和初始目标函数表示的直线，通过平移确定目标函数的最小值.【详解】首先画出不等式表示的可行域，令，画出初始目标函数表示的直线，当直线平移至点时，目标函数取得最小值， ，解得：，即, 故选：D点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.4.若0ab1，x

4、ab，yba，zbb，则x、y、z的大小关系为（ A. xzyB. yxzC. yzxD. zyx【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性得到，利用幂函数的单调性得到，即得解【详解】因为，故单调递减；故，幂函数单调递增；故，则、的大小关系为：；故选：A【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.函数在的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再结合、的正负可得正确的选项.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B.又，排除C、D.故选：A.【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊

5、点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.6.某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生（高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人）按1，2，3，1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义进行求解判断即可【详解】解：由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分50组，高二学生编号为496到985，在第17组到 33组内，第17组编号为，为高二学生，第33组编号为，为高二学生，故所抽样本中高二学生

6、的人数为故选：C【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，结合系统抽样的定义是解决本题的关键，属于基础题7.已知，则（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】由题求出，再将化成，即可求出【详解】由可得故选：B【点睛】本题主要考查根据正切值求齐次式的值，考查学生的数学运算能力，属于基础题8.若向量和满足，则向量在向量上的投影为（ ）A. B. C. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】先根据求出，结合投影的定义可求结果.【详解】因为，所以，因为，所以.向量在向量上的投影为.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的投影问题，向量在向量上的投影主要有两个思路：一是利用求解；二是利用求解

7、.侧重考查数学运算的核心素养.9.设函数在定义域内只有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据极值点存在的条件可知，在定义域只有一个根，即可求出【详解】由题意可知在定义域只有一个根，显然，所以，即函数在上的图象与直线只有一个交点作出函数在上的图象，如图所示：所以，即故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，涉及转化思想的应用，属于基础题10.已知双曲线：的左、右顶点分别为、，是上一点，且为等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设在双曲线的左支上，由双曲线的性质和

8、等腰三角的性质得出，设，则，结合条件利用正弦定理求出，再由同角三角函数关系和二倍角公式求出，根据直角三角形中任意角的三角函数可求出的坐标，代入双曲线方程，再由离心率公式即可得到所求值【详解】解：由题可知，为等腰三角形，设在双曲线的左支上，在轴上的投影为，则，设，则，的外接圆的半径为，解得：，则，在中，则的坐标为，即，代入双曲线方程可得，由，可得，即有故选：C【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，涉及到正弦定理的应用、同角三角函数关系、二倍角以及任意角的三角函数等知识，考查化简计算能力.11.已知直角三角形ABC的斜边BC边上的高为AH，且面积是面积与面积的等比中项，

9、则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用值角三角形中边角关系，把各个边长用一个边长和角C表示.【详解】设，如图，已知直角三角形ABC的斜边BC边上的高为AH,则HAB=C=在中，在中，,在中，,面积是面积与面积的等比中项，把各边长代入得：,化简得：， 即,解得: 或 (舍去) ,故选： D【点睛】本题主要考查了直角三角形中的三角函数，等比数列，简单的三角方程，属于中档题.12.已知过抛物线C：焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】设出直线PQ方程和P，Q两点

10、的坐标，联立直线方程和抛物线方程，用上韦达定理和焦半径公式，表示出，即可求其最小值.【详解】解：，的圆心，半径为1，设，则设直线方程为，故选：B【点睛】以过抛物线焦点的直线为载体，求所给式子的最小值，转化为求函数的最小值，用好韦达定理和焦点半径公式即可求解；基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数在处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：由函数，求导可得，所以，又，即函数在处的切线方程是，即，故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14.已

11、知等比数列的各项均为正数，公比为q，前n项和，若对于任意正整数n有，则q的范围为_.【答案】【解析】【分析】由已知结合等比数列的求和公式代入可求公比q的范围.【详解】对于任意正整数n有，当时，符合要求，当时，且，综上可得，.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式的简单应用，考查了分类讨论的思想，考查了运算能力，属于中档题.15.如图正方体中，E、F分别是、中点，则_.【答案】【解析】【分析】设正方体的棱长为2a,勾股定理可算出, ,然后在CEF中，由余弦定理知, ，代入已求得的数据进行运算即可得解.【详解】设正方体的棱长为2a,则，在CEF中，由余弦定理知,，故答案为：【点睛】本题主

12、要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的空间想象力和运算能力，属于基础题.16.关于函数有下列三个结论，是函数的周期；函数在的所有零点和为函数的值域；其中所有正确结论的编号是_【答案】【解析】【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假.【详解】对,因为函数,所以是函数的周期，正确;对，令，则，解得，即或，,而，所以，故函数在的所有零点和为，错误；对，设，则，所以，正确.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

13、每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可求得，再代入等差数列通项公式，即可得到答案；（2）由（1）可得到和时的取值，再对进行分类讨论求和；【详解】（1）是等差数列，公差为，且，解得，数列的通项公式为：.（2）令，则，.时，；时，时，当时，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意项的正负问题.18.一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合

14、理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：单价（元）8.599.51010.5销量（杯）120110907060（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，.【答案】（1）（2）单价应该定为10元【解析】【分析】（1）首先求出、，然后再求出、，即可求解. （2）设定价为元，利润函数为，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：（1）由表中数据，则，所以关于的线性相关

15、方程为.（2）设定价为元，则利润函数为，其中，则，所以（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题.19.如图所示，已知D、E、F分别是正四面体的棱、上的点.（1）若，求证：；（2）若，且，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连，易证平面，可得到，再根据平行线分线段成比例的推论逆定理可得，即可证得；（2）设，根据题意结合余弦定理列出三个方程，可解出，再根据等积法，即可求出【详解】（1）如图所示：取中点，连，则有：，所以平面，所以，又，即有，（2）如图：设，由余弦定

16、理得：-得，即，则，代入，得，又，不妨设，解得：，则易求得点到平面的距离为正四面体棱长的，所以到平面的距离，【点睛】本题主要考查线面垂直判定定理，线面垂直的定义的应用，余弦定理以及等积法的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题20.已知函数（1）若，求的极值；（2）设，讨论的零点个数.【答案】（1）；（2）时函数无零点，时，函数只有一个零点.【解析】【分析】（1）对三次函数进行求导，再解导数不等式，从而得到极值点，再求极值；（2）将函数零点个数转化为求直线与的交点个数，利用导数研究函数的图象特征，再对进行分类讨论，即可得到答案；【详解】（1），当时，；当时，.

17、在和上单调递增；在上单调递减.；.（2），即，故的零点个数即为与的交点个数，令，显然，时函数无零点，时，恒成立，故在上单调递减，此时与只有一个交点，即只有一个零点.综上：时函数无零点，时，函数只有一个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的应用.21.已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由【答案】（

18、1）；（2）.【解析】分析】（1）求得焦点坐标，设，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设，的坐标分别为，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率【详解】解：（1）时，椭圆，两个焦点，设，可得，即，因为，所以的范围是；（2）设，的坐标分别为，可得，则，两式相减可得，即，故，又设，直线，即直线的方程为，从而，代入椭圆方程可得，由与，联立得，若四边形为平行四边形，那么也是的中点，所以，即，整理可得，解得，经检验满足题意，所以当时，四边形为平行四边形【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数

19、量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，由经过伸缩变换得到曲线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，与曲线、曲线在第一象限交于、，且，点的极坐标为，求的面积【答案】（1）；（x2）2+y24；（2）【解析】【分析】（1）直接利用伸缩变换的应用和参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果（2）利用三角俺和你熟关系式的变换和极径的应

20、用及三角形的面积公式的应用求出结果【详解】解：（1）平面直角坐标系中，由经过伸缩变换得到曲线，得到直角坐标方程为根据转换为极坐标方程为曲线的极坐标方程为根据转换为直角坐标方程为（2）由于得到：，且整理得由于，所以，故：，解得所以，则：【点睛】本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）解不等式；（2）若的最大值为，且，其中，求的最大值【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）根据，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出的最大值，然后由，利用基本不等式求出的最大值【详解】解：（1），或或，不等式的解集为（2）由题意知的最大值为6，故，当且仅当，即， 时等号成立，的最大值为4【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题