1、第22讲圆的基本性质重难点垂径定理及圆周角定理(含推论)如图，ABC内接于O，D为线段AB的中点，延长OD交O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论：ABDE；AEBE；ODDE；AOEC；.正确结论的个数是(C)A2 B3 C4 D5【拓展提问1】若AB12，DE4，则O的半径为6.5【拓展提问2】若C60，AB12，则DE的长度是2【拓展提问3】若O的半径为8，将沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为8(1)对于一圆和一条直线来说，下列五个条件：垂直于弦；过圆心；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧如果具备其中两个，就能推出其他三个，简称为“知二得三”如例题考
2、查由过圆心、平分弦(不是直径)这两个条件推出其他三个结论(2)运用垂径定理及其推论求线段长的关键是构造直角三角形最常用的方法是连接圆心和圆中弦的一个端点，若弦长为l，圆心到弦的距离为d，半径为r，根据勾股定理有如下公式：l.或在直角三角形中，已知一直角边与斜边的关系，得到角度关系，再利用三角函数求解O是ABC的外接圆，P是O上的一个动点(1)当BC是O的直径时，如图1，连接AP，BP.若BAP30，BP3，求O的半径；(2)当APCCPB60时，如图2，连接AP，BP，PC.判断ABC的形状：等边三角形；试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论图1图2【思路点拨】(1)连接PC
3、，则可得BAPBCP30，在RtBCP中求出BC，继而可得O的半径(2)利用圆周角定理可得BACCPB，ABCAPC，而APCCPB60，所以BACABC60，从而可判断ABC的形状；在PC上截取PDAP，则APD是等边三角形，然后证明APBADC，证明BPCD，即可证得【自主解答】解：(1)连接PC.BC是O的直径，BPC90.BAPBCP30，BP3，BC6.O的半径为3.(2)证明：在PC上截取PDAP.又APC60，APD是等边三角形ADAPPD，ADP60，即ADC120.又APBAPCBPC120，ADCAPB.在APB和ADC中，APBADC(AAS)BPCD.又PDAP，CPC
4、DPDBPAP.1本题源于人教版教材九上P90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论2在本题的解答过程中，有两点必须注意：由BC是直径，可连接PC构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等1本题源于人教版教材九上P90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论2在本题的解答过程中，有两点必须注意：由BC是直径，可连接PC构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最
5、常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等【拓展提问】若O的半径为1，当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积【自主解答】解：当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大理由如下：图3如图3，过点P作PEAB，垂足为E.过点C作CFAB，垂足为F.SAPBABPE，SABCABCF，S四边形APBCAB(PECF)当点P为的中点时，PECFPC，PC为O的直径，此时四边形APBC的面积最大又O的半径为1，其内接正三角形的边长AB.S四边形APBC2.考点1圆的有关概念1如图，AB为O的直径，点C，D在O上，已知BOC70，ADOC，则AOD40考点2 垂径定理及其推论2如图
6、，O的弦AB8，M是AB的中点，且OM3，则O的半径等于(D)A8 B2 C10 D53(2022张家界)如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，OC5 cm，CD8 cm，则AE等于(A)A8 cm B5 cm C3 cm D2 cm4(2022绍兴)如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，AOB120，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了15步(假设1步为0.5米，结果保留整数)(参考数据：1.732，取3.142)考点3 圆心角、弧、弦之间的关系5如图，AB是O的直径，COD34，则AE
7、O的度数是(A)A51 B56 C68 D786如图，在O中，已知弦ABDE，OCAB，OFDE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为(D)DOEAOB；OFOC；ACEF.A1 B2 C3 D4考点4 圆周角定理及其推论7(2022柳州)如图，A，B，C，D是O上的四个点，A60，B24，则C的度数为(D)A84 B60 C36 D248(2022赤峰)如图，AB是O的直径，点C是O上的一点(A，B除外)，AOD130，则C的度数是(C)A50 B60 C25 D309(2022广州)如图，AB是O的弦，OCAB，交O于点C，连接OA，OB，BC.若ABC20，则AOB的度数是(D)A
8、40 B50 C70 D8010(2022毕节)如图，AB是O的直径，C，D为半圆的三等分点，CEAB于点E，ACE的度数为3011(2022十堰)如图，ABC内接于O，ACB90，ACB的平分线交O于点D.若AC6，BD5，则BC的长为812(2022巴中)如图所示，O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得SACPSDBP169，则ACBD43考点5 圆内接四边形的性质13(2022苏州)如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点若BOC40，则D的度数为(B)A100 B110 C120 D13014(2022曲靖)如图，四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一
9、点若An，则DCEn15(分类讨论)(2022安顺)已知O的直径CD10 cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB8 cm，则AC的长为(C)A2 cm B4 cmC2 cm或4 cm D2 cm或4 cm16(2022潍坊)如图，四边形ABCD为O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AOCD，垂足为E，连接BD，GBC50，则DBC的度数为(C)A50 B60 C80 D8517(2022广安)如图，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cosCDB，BD5，则OH的长度为(D)A. B. C1 D.18(2022宜宾)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DEAB
10、于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若，则. 19(2022南京)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AFDE，垂足为F.O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：AFGDFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE1，求O的半径解：(1)证明：在正方形ABCD中，ADC90，CDFADF90.AFDE，AFD90.GAFADF90.GAFCDF.四边形GFCD是O的内接四边形，FCDDGF180.又FGADGF180，FGAFCD.AFGDFC.(2)连接CG.EADAFD90，EDAADF，EDAADF.，即.AFGDFC，.在正方形ABCD中，DADC，AGEA1，DGDAAG413.CG5.CDG90，C，G在O上，CG是O的直径O的半径为.20“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE1寸，AB10寸，求直径CD的长”则直径CD26寸7
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