1、2012-2013学年度高三综合测试（三）试题数学（文科）本试卷共3页，20小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：，故选A2直线在两轴上的截距之和是（） （A）6 （B）4 （C）3 （D）2解析：令得，令得，故选D3定义：，其中为向量与的夹角，若，则 等于（） （A） （B） （C）或 （D）解析：由，可得，又，所以，从而，故选B4设，则的值（） （A） （B） （C） （D）解析：由，不妨在角的终边上取点，则，于是由定义可得，所以，故选
2、A5已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 其中真命题的个数是 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个解析：不成立，故选A6已知函数，则在上的零点个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析：（数形结合）要求函数在上的零点个数，就要看函数与在上的交点个数，画出图象即可知两个函数图象有2个交点，故选B7设命题，则是的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：，故选A8下列不等式中，一定成立的是（ ）（A）（）； （B） （，）；（C）（）； （D）（）解析：取否定A，取
3、否定B，取否定D，故选C9曲线（）上的点到直线的距离的最小值为（） （A）3 （B） （C） （D）4解析：设点是曲线上满足条件的点，则，当且仅当时取等号，故选A10将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原 来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（） （A） （B） （C） （D）解析：依题意可得 ，因为所得图象关于直线对称，所以，得（），故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_*_*_*_*_解析：余下分数为82
4、,84,86,86，87，方差为12已知数列是等差数列，则首项 。解析：13若变量，满足约束条件，则的最小值为_*_*_*_*_解析：可行域的四个顶点坐标分别为，目标函数必然在顶点上取得最大或最小值，将它们依次代入目标函数式得到，故最小值为14如图，在中，是边上的点，且，则的值为_*_*_*_*_解析：不妨取，则，于是在中，所以，因此，于是在中，三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设的内角，的对边分别，且，若，求，的值解析：（1），则的最大值为0，最小正周期是；（2），则，；又，由
5、正弦定理得，由余弦定理得，即，由、解得，16（本小题满分13分）（1）已知实数，求直线不经过第四象限的概率；（2）已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线 上，最后经直线反射后又回到点，求光线所经过的路程的长度；解：（1）直线不经过第四象限且这是一个古典概型，基本事件数为16，记事件“直线不经过第四象限”， 事件包含的基本事件数为4，所以。（2）直线的方程，设点关于直线的对称点为，则有，所以又点关于直线（即轴）的对称点为光线所经过的路程的长度。17（本题满分12分）某公司有价值万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值 假设附加值
6、万元与技术改造投入万元之间的关系满足：与和的乘积成正比；其中为常数，且（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值 解（1）设可得定义域为，为常数，（2） 当当上为增函数18（本题满分14分）APCBOEF如图，已知O所在的平面，是O的直径，C是O上一点，且，与O所在的平面成角，是中点F为PB中点(1) 求证： ；(2) 求证：；（3）求三棱锥的体积解：(1)证明：在三角形PBC中，是中点 F为PB中点所以 EF/BC，所以(2) （1）又是O的直径，所以（2）由（1）（2）得 因 EF/BC ，所以（3）因O所在的平面，AC是PC在面ABC
7、内的射影，即为PC与面ABC所成角 ， ，PA=AC 在中，是中点， 19（本题满分14分）设、是函数（）的两个极值点（1）若，求证：；（2）如果，求的取值范围解：由已知：故的两根(1) 由于由于( 3)得：4a 2b 0 (2) 由韦达定理故当这时，由即为增函数（也可用求导法来证），故当也为增函数故这时，综上，b的取值范围是20（本小题满分14分）已知数列满足，（），数列满足，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）试比较与的大小，并说明理由；（3）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢？若会，求出的取值范围；若不会，请说明理由解：（1）由得：， 是等差数列，首项，公差；，从而， （2）由（1）得 ，构造函数 则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，即，当且仅当时取等号， ，即，当且仅当时取等号， （3）由（1）知，显然是一个递减数列， 对 恒成立。取，则 存在满足恒成立，的取值范围是