1、目标导航1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点、难点)3初步掌握求动点的轨迹方程的方法(难点、易错点)1 新知识预习探究 知识点一圆的一般方程1.圆的一般方程的概念当时，二元二次方程 x2y2DxEyF0 叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为(D2，E2)，半径长为 D2E24F2.D2E24F0【练习 1】圆 x2y24x6y30 的圆心和半径分别为()A(2，3)；16 B(2,3)；4C(4，6)；16 D(2，3)；4解
2、析：配方，得(x2)2(y3)216，所以，圆心为(2,3)，半径为 4.答案：B知识点二求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)相关点法：若动点 P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(x1，y1)运动而运动，且 x1，y1 可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已
3、知圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程【练习 2】设圆 x2y24x2y110 的圆心为 A，点 P 在圆上，则 PA 的中心 M 的轨迹方程是_解析：设 M 的坐标为(x，y)，由题意可知圆心 A 为(2，1)，P(2x2,2y1)在圆上，故(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110，即 x2y24x2y10.答案：x2y24x2y102 新视点名师博客1.圆的一般方程的特点圆的一般方程 x2y2DxEyF0(其中 D，E，F 为常数)具有以下特点：(1)x2，y2 项的系数相等且不为零；(2)没有 xy 项；(3)D2E24F0.2求轨迹方程应注意的问题(1)根据题目中的条件的不
4、同，应选择建立适当的直角坐标系，使其有利于解题；(2)因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以证明时步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.3 新课堂互动探究 考点一 圆的一般方程的概念例 1已知方程 x2y22(m3)x2(14m2)y16m490 表示一个圆(1)求实数 m 的取值范围；(2)求该圆半径的取值范围分析：(1)由二元二次方程表示圆的条件可求实数 m 的范围(2)可将圆的半径用 m 表示出来，根据 m 的范围可求 r 的取值范围解析：(1)方程化为x(m3)2y(14m2)27m26m1，7m26m10，17m1，方程表示圆时 m 的取值范围为17m1.(2)r
5、7m26m17m3721974 77，圆的半径 r 的取值范围为 0r4 77.点评：形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：由圆的一般方程的定义令 D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解变式探究 1 已知圆 x2y2kx2yk20，当该圆面积取得最大值时，求圆心坐标解析：当圆的半径长最大时，圆的面积最大由 x2y2kx2yk20，得xk22(y1)2134k2，其中2 33 k2 33.当 k0 时，
6、134k2 最大，半径长也最大，此时圆心坐标为(0，1).考点二 求圆的一般方程例 2求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析：求圆的一般方程 求圆心和半径解析：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，所求圆过点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，F0，DEF20，4D2EF200，解得D8，E6，F0.所求圆的方程为 x2y28x6y0，D24，E23，圆心为(4，3)，半径 r12 D2E24F5.点评：应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的
7、标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.变式探究 2 圆 C 过点 A(1,2)，B(3,4)，且在 x 轴上截得的弦长为 6，求圆 C 的方程解析：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0.圆过 A(1,2)，B(3,4)，D2EF5，3D4EF25.令 y0，得 x2DxF0.设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1，x2，则x1x2D，x1x2F.|x1x2|6，(x1x2)24x1x236，即 D24F36.由得 D12，E22，F27，或 D8，E2，F7.故所求圆的方程为 x2
8、y212x22y270，或 x2y28x2y70.考点三轨迹问题例 3已知直角ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程分析：由题意知，只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件解析：(1)方法一：设顶点 C(x，y)，因为 ACBC，且 A，B，C三点不共线，所以 x3 且 x1.又 kAC yx1.kBC yx3，且 kACkBC1，所以 yx1 yx31，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3 且 x1)方法二：同方法一
9、得 x3 且 x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3 且 x1)方法三：设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|12|AB|2，由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以D(1,0)为圆心，以 2 为半径长的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3 且 x1)(2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点
10、坐标公式得 xx032(x3 且 x1)，yy002，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点 C 在圆(x1)2y24(x3 且 x1)上运动，将 x0，y0 代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(x3 且 x1)点评：(1)求动点的轨迹方程的一般步骤为：建系、设点、列式、化简、证明建系时可根据题目中的条件，建立适当的直角坐标系，简化运算是解题的关键(2)求解时，重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤，注意灵活运用图形的几何性质(3)对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常用代入法变式探究
11、 3 已知点 A(1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点，又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程解析：A，B 是圆 C 直径的两个端点，圆心 C(1,2)，半径 r 312322 5，圆的方程为(x1)2(y2)25.设 P(x，y)，M(x0，y0)，M，N 的中点是 P，x02x4，y02y2，M 在圆 C 上，(2x5)2(2y)25，即(x52)2y254.故线段 MN 的中点 P 的轨迹方程是(x52)2y254.4 新思维随堂自测1.圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)解析
12、：圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是42，62，即(2，3)答案：D2方程 x2y24x2y5m0 表示圆的条件是()A.14m1Cm14 Dm0 解得 m1.答案：D3已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍，那么点 M 的轨迹方程是()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析：设 M(x，y)，则 M 满足 x82y22 x22y2，整理得 x2y216.答案：B4M(3,0)是圆 x2y28x2y100 内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程为_，最短的弦所在的直线方程是_解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点 M
13、 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线 CM 垂直的弦易求出圆心为 C(4,1)，kCM10431，最短的弦所在的直线的斜率为1，由点斜式，分别得到方程：yx3 和 y(x3)，即 xy30 和 xy30.答案：xy30 xy305一个等腰三角形底边上的高等于 5，底边两端点的坐标是(4,0)和(4,0)，求它的外接圆的方程解析：由题意，等腰三角形顶点的坐标是(0，5)当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程是 x2y2DxEyF0，则255EF0，164DF0，164DF0，解之，得D0，E95，F16.所以，圆的方程是 x2y295y160.当顶点坐标为(0，5)时，同理可
14、得圆的方程为 x2y295y160.5 辨错解走出误区易错点：圆的一般方程中，易忽视条件“D2E24F0”【典例】判断方程 x2y22axb20，表示什么图形【错解】将方程配方得(xa)2y2a2b2，由圆的标准方程可得，方程(xa)2y2a2b2 表示一个圆心为(a,0)，半径为 a2b2的圆【错因分析】忽略了“当 ab0 时，a2b20，此时，方程x2y20 表示一个点，即原点(0,0)”这种特殊情况【正解一】将方程配方得(xa)2y2a2b2.当 a2b20 即 ab0 时，x2y20，原方程表示一个点，即原点(0,0)当 a2b20 即 a，b 中至少有一个不为 0 时，原方程表示一个圆，圆心坐标为(a,0)，半径长为 a2b2.【正解二】D2E24F(2a)2024(b2)4(a2b2)0.当 4(a2b2)0，即 ab0 时，原方程表示一个点，坐标为(D2，E2)，即(a,0)当 4(a2b2)0，即 a、b 中至少有一个不为 0 时，原方程表示一个圆，圆心坐标为(D2，E2)，即(a,0)，半径长为 D2E24F2，即 a2b2.