1、第五篇 数 列(必修5)第 3 节 等比数列 最新考纲1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系.返回导航返回导航提示：可采用累积法推导【教材导读】1如何推导等比数列的通项公式？采用什么方法？2b2ac 是 a，b，c 成等比数列的什么条件？提示：必要而不充分条件，因为 b2ac 时，不一定有 a，b，c 成等比数列(如 a0，b0，c1)，而 a，b，c 成等比数列，则必有 b2ac.3如何推导等比数列的前 n 项和公式？采用了什么方法？提示：可用错位相减法推导1
2、等比数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于_常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母_(q0)表示符号表示为_，q 为常数(2)等比中项：如果三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么GabG，即 G2_.返回导航同一个公比qab2等比数列的通项公式(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，q0，则它的通项公式 an_.(2)通项公式的推广anam_.3等比数列的前 n 项和公式返回导航a1qn1qnm4等比数列的常见性质(1)在等比数列an中，若 mnpq2k(m，n，p，q，kN
3、*)，则amanapaqa2k.(2)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍然是等比数列(3)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.返回导航(4)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为 qn，当公比为1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定构成等比数列5等比数列的单调性当 q1，a10 或 0q1，a11，a10 或 0q0 时，an是递减数列；当 q1 时，an是常数列返回导航6等比数列
4、与指数函数的关系当 q1 时，ana1q qn，可以看成函数 ycqx，是一个不为 0 的常数与指数函数的乘积，因此数列an各项所对应的点都在函数 ycqx的图象上返回导航1等比数列 x,3x3,6x6，的第四项等于()(A)24(B)0(C)12(D)24返回导航A 解析：由等比数列的性质和定义进行解题，由等比中项性质得(3x3)2x(6x6)，因x10，得x3.所以a4(6x6)3x3x18x12x24.故选 A.2(2017 全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻
5、两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯()(A)1 盏(B)3 盏(C)5 盏(D)9 盏返回导航B 解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前 7 项的和 S7381，公比 q2，依题意，得a112712381，解得 a13，选择 B.3已知 a1，a2，an，为各项均大于零的等比数列，公比 q1，则()(A)a1a8a4a5(B)a1a8a4a5(C)a1a8a4a5(D)a1a8 与 a4a5 的大小关系不能由已知条件确定返回导航A 解析：(a1a8)(a4a5)a1(1q7)a1(q3q4)a1(1q7q3q4)a1(1q3)(1q4)q anan1
6、0 且 q1，当 q1 时，q31，q41,1q30,1q40；当 0q1 时，q31，q41,1q30,1q40.总之 a1(1q3)(1q4)0.a1a8a4a5.返回导航4若正项等比数列an满足 an2an12an，则其公比为()(A)12(B)2 或1(C)2(D)1返回导航C 解析：根据题意，设等比数列an的公比为 q，若 an2an12an，则有 anq2anq2an，即 q2q20，解可得 q2 或1，由数列an为正项等比数列，可得 q2，故选 C.5设an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若Sn是等差数列，则 q 为_返回导航解析：若 q1，则 Snna1，S
7、n是等差数列；若 q1，则当Sn是等差数列时，一定有 2S2S1S3，2a11q21qa1a11q31q，即 q32q2q0，故 q(q1)20，q0 或 q1，而 q0，q1，此时不成立返回导航答案：1返回导航考点一 等比数列的基本运算(1)在等比数列an中，若公比 q4，且前 3 项之和等于21，则该数列的通项公式 an_.(2)等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 an0，q1，a3a520，a2a664，则 S5()(A)31(B)36(C)42(D)48解析：(1)解法一 由题意知 a14a116a121，解得 a11，所以等比数列an的通项公式为 ana1qn14n1.解法二 由
8、题意可设等比数列an的前 3 项分别为x4，x,4x，则x4x4x21，解得 x4，所以等比数列an的通项公式为 ana2qn244n24n1.(2)a3a5a2a664，因为 a3a520，所以 a3 和 a5 为方程 x220 x640 的两根，因为 an0，q1，所以 a3a5，所以 a516，a34，所以 qa5a3164 2，所以 a1a3q2441，所以 S51q51q 31.返回导航【反思归纳】等比数列基本运算的方法策略(1)将条件用 a1，q 表示，在表示 Sn 时要注意判断 q 是否为 1；(2)解方程(组)求出 a1，q，消元时要注意两式相除和整体代入；(3)利用 a1，q
9、 研究结论返回导航【即时训练】(1)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且S3S689，则an1anan1_(n2，且 nN)(2)若 Sn 为数列an的前 n 项和，且 Sn2an2，则 S8 等于()(A)255(B)256(C)510(D)511返回导航解析：(1)很明显等比数列的公比 q1，则由题意可得：S3S6a11q31qa11q61q11q389，解得：q12，则：an1anan1an1q2an1qan1 q2q11412112.返回导航(2)当 n1 时，a12a12，据此可得：a12，当 n2 时：Sn2an2，Sn12an12，两式作差可得：an2an2an1，则：an
10、2an1，据此可得数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，其前 8 项和为：S82128122925102510.故选 C.返回导航答案：(1)12(2)C考点二 等比数列的判定与证明 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN*有 anSnn.(1)设 bnan1，求证：数列bn是等比数列；(2)设 c1a1 且 cnanan1(n2)，求cn的通项公式返回导航(1)证明：由 a1S11 及 a1S1 得 a112.又由 anSnn 及 an1Sn1n1 得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即 2bn1bn.数列bn是以 b1a1112为首项，12为公
11、比的等比数列返回导航(2)解：方法一：由(1)知 2an1an1.2anan11(n2)，2an12ananan1，2cn1cn(n2)又 c1a112，a2a1a22，a234.c2341214，c212c1.数列cn是首项为12，公比为12的等比数列cn1212n112n.返回导航方法二：由(1)bn1212n112n，12n112n1112n112n12n1112 12n(n2)又 c1a112也适合上式，cn12n.返回导航【反思归纳】等比数列的判定方法(1)定义法：若an1an q(q 为非零常数)或 anan1q(q 为非零常数且 n2)，则数列an是等比数列(2)等比中项法：若数
12、列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式写成 ancqn(c、q 均是不为 0 的常数，nN*)，则数列an是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且k0，q0,1)，则数列an是等比数列如果判定某数列不是等比数列，只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可返回导航【即时训练】已知数列an和bn满足：a1，an123ann4，bn(1)n(an3n21)，其中 为实数，n 为正整数(1)对任意实数，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论返回导航解析：
13、(1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有 a22a1a3，即233 2494，故492494924，即 90，这与事实相矛盾所以对任意实数，数列an都不是等比数列(2)因为 bn1(1)n1an13(n1)21(1)n123an2n14 23(1)n(an3n21)23bn，返回导航又 b1(18)，所以当 18 时，b10(nN*)，此时bn不是等比数列；当 18 时，b1(18)0，则 bn0，所以bn1bn 23(nN*)故当 18 时，数列bn是以(18)为首项，23为公比的等比数列返回导航考点三 等比数列的性质及应用(1)等比数列an中，已知 a1a38，a5a74，则 a9a
14、11a13a15 的值为()(A)1(B)2(C)3(D)5(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比q_.返回导航解析：(1)因为an为等比数列，所以 a5a7 是 a1a3 与 a9a11 的等比中项，所以(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故 a9a11a5a72a1a3 428 2；同理，a9a11 是 a5a7 与 a13a15 的等比中项，所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故 a13a15a9a112a5a7 224 1.所以a9a11a13a15213.返回导航(2)由S10S5 3132，a11 知公比 q1，S
15、10S5S5 132.由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10S5，S15S10 成等比数列，且公比为 q5，故 q5 132，q12.返回导航答案：(1)C(2)12【反思归纳】在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前 n 项和公式，建立方程(组)求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量，提高解题速度返回导航【即时训练】(1)设等比数列an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38，S67，则 a7a8a9 等于()(A)18(B)18(C)578(D)558(2)(2016 高考全国卷)设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an 的最大值为_返回导航解
16、析：(1)因为 a7a8a9S9S6，在等比数列中 S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即 8，1，S9S6 成等比数列，所以有 8(S9S6)1，即S9S618.故选 A.(2)利用等比数列通项公式求出首项 a1 与公比 q，再将 a1a2an 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题设等比数列an的公比为 q，则由 a1a310，a2a4q(a1a3)5，知 q12.又 a1a1q210，a18.返回导航故 a1a2anan1q12(n1)23n12n1n223nn22 n22n22 72n.记 tn22 7n2 12(n27n)，结合 nN*可知 n3 或 4 时，t 有最
17、大值 6.又 y2t 为增函数，从而 a1a2an 的最大值为 2664.返回导航答案：(1)A(2)64返回导航等比数列的基本运算教材源题：在等比数列an中：(1)已知 a11，a464，求 q 与 S4；(2)已知 a332，S392，求 a1 与 q.解：(1)由 q3a4a164，解得 q4，所以 S4a1a4q1q 16441451.(2)因为 S3a1a2a3a3(q2q11)，所以 q2q113，即 2q2q10，解这个方程得 q1 或 q12.当 q1 时，a132；当 q12时，a16.返回导航【规律总结】解决等比数列的基本计算问题主要是利用方程思想，建立方程(组)求解注意两式相除、整体代换、分类讨论等技巧的应用返回导航【源题变式】在等比数列an中，an0，a5a115，a4a26，则 a3_.返回导航解析：因为 a5a115，a4a26.所以a1q4a115，a1q3a1q6(q1)两者相除得q21q21qq21 156，即 2q25q20，所以 q2 或 q12，当 q2 时，a11，当 q12时，a116(舍去)所以 a31224.返回导航答案：4 返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
