1、第五节 合情推理与演绎推理 1.推理(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程.(2)分类：推理一般分为_与_两类.合情推理 演绎推理 2.合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_ _的推理，或者由个别事实概括出_的推理 由两类对象具有某些 类似特征和其中一类 对象的_，推出另一类对象也具 有这些特征的推理 特点 由_到_、由_到_的推理 由_到_的推理 全部对象都具有这些 特征 一般结论 某些已知特征 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 3.演绎推理(1)定义：从_出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演
2、绎推理.(2)特点：演绎推理是由_到_的推理.(3)模式：演绎推理的一般模式是三段论：大前提：已知的_；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对_做出的判断.一般性的原理 一般 特殊 一般原理 特殊情况 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.()(5)在演绎推理
3、中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()【解析】(1)错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一定正确.(2)正确.这是类比推理，属于合情推理.(3)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(4)正确.这是三段论推理，但其大前提错误，所以结论也是错误的.(5)错误.在演绎推理中，结论是否正确，不仅要看是否符合三段论的形式，还要看大前提、小前提是否正确.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1在数列an中，a11，an1 (nN*)，猜想这个数 列的通项公式为()(A)ann (B)an(C)an (D)an
4、【解析】选C.根据递推公式得a2 ，a3 ，a4 ，于是猜想an .nn2a2a1n2n13n2231224252n12.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为 复数集)“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”.“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则ab cd ac，bd”.22“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选C.由复数以及实数的性质可知是正确的类比，其结果是正确的，而类比得到的结论是错误的，例
5、如：a=2+i,b=1+i，有a-b=10，但不能有2+i1+i，因为虚数不能比较大小.3.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”，但大前提错误(D)使用了“三段论”，但小前提错误【解析】选C.该推理符合三段论的形式，但大前提是错误的，因为并不是所有的有理数都是无限循环小数.4.设f(x)=,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),则 f2 012(0)=()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)不存在【解析】选A.所以f5(x)=f1(x)，f6(x)=f
6、2(x)，f2 012(x)=f4(x)=x，故f2 012(0)=0.1x1x 121x11x11xfx,fx,1x1xx1 1x 341x11()1x1xx1fx,fxx1x1x11()1xx1 ，5已知a00，a10,a20,a30,设方程a0 x+a1=0的一个根是 x1,则x1 方程a0 x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2，则x1+x2=，由此类推方程a0 x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是x1,x2,x3，则x1+x2+x3=()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数的 关系可得.10aa；10aa10aa21aa32aa30
7、aa考向1 归纳推理【典例1】(1)(2012江西高考)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11，则a10+b10()(A)28 (B)76 (C)123 (D)199(2)(2013茂名模拟)表示不超过 的最大整数.那么Sn=_.n1S1233,2S4567810,3S910111213141521,，n(3)设f(x)=，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.x133【思路点拨】(1)分析从第三个式子开始，其值与前两个式子的值的和，发现其中的规律.(2)根据给出的三个式子
8、中第一个数和最后一个数的变化规律推断第n个式子的第一个数和最后一个数，同理归纳第n个式子的结果.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.【规范解答】(1)选C.利用归纳法，a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，a4+b4=7=4+3，a5+b5=11=7+4，a6+b6=18=11+7，a7+b7=29=18+11，a8+b8=47=29+18，a9+b9=76=47+29，规律为从 第三组开始，其结果为前两组结果的和，故a10+b10=76+47=123.(2)归纳可
9、知Sn中的第一项为 ，最后一项为 ，个数是2n+1个，此时 ,k=0,1,2，,2n，故其结果为n(2n+1)=2n2+n.故 答案:2n2n11 2n2n2nkn22222nSnn1n2n2n2nn.22222nn1n2n2n2nn.(3)f(0)+f(1)=同理可得：f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.0111333311133(13)31333 133 13，333333证明：x1 x11f xf 1x3333xxx133333 3xxxxx13333.333333333【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2 012)+f(-2
10、011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值.【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)=得 方法一：f(-2 012)+f(2 013)=,f(-2 011)+f(2 012)=,故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)=2 013 =方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+f(2 013)则S=f(2 013)+f(2 012)+f(-2 012)，2S=4 026f(-2 012)+f(2 013)=4 026 ,S=2 013 =671 .3333333333333671 3.【拓展提升】(1
11、)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.(2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.【变式备选】(1)观察下列等式，照此规律，第五个等式应 为_ 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49【解析】第五个等式中应该有9个数相加，第一个数是5，和等于81，所以第五个等式是：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.答案:5+6
12、+7+8+9+10+11+12+13=81 (2)(2012长沙模拟)考察下列一组不等式：将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为_.【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的次数之间的关系可得.答案:am+n+bm+nambn+anbm(a,b0,ab,m,n0)33224433551122222225252 5,25252 5,252525,考向2 类比推理【典例2】(1)(2013江门模拟)设ABC的三边长分别为 a,b,c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则 类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为
13、S1,S2,S3,S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R _.(2)若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则 数列 为等差数列，且通项为 a1(n1)，类似 地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项 为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_ 2Srabc；nSnnSnd2【思路点拨】(1)“三角形”与“四面体”类比，“面积”与“体积”类比，“内切圆”与“内切球”类比，“面积分割 法”与“体积分割法”类比，即可得到结论.(2)“除”与“开方”相类比，即 类比 ，类比 ，“加”与“乘”相类比，即 类比 nnTnSnqd2n 11b(q)1da(n1).
14、2【规范解答】(1)设四面体ABCD的内切球球心为O，连接OA,OB,OC,OD，则VVO-ABCVO-BCDVO-CDAVO-ABD R(S1S2S3S4)，所以 答案:12341111S RSRSRSR33331312343VR.SSSS 12343V.SSSS (2)因为 所以n 所以数列n 是首项为b1，公比 为 的等比数列，其通项为 答案:数列n 为等比数列，且通项为n n n 11 2 3n 1nn2n123n11Tbbbbbqbq ，n 1n 12n11Tb qb(q)，qn 1nn1Tb(q).nTn 11b(q)nTnT【拓展提升】1.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间
15、的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).2.熟悉常见的类比对象(1)平面与空间的类比 平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积(2)等差数列与等比数列的类比 等差数列 等比数列 两项之和 两项之积 两项之差 两项之比 前n项之和 前n项之积 【变式训练】(1)(2012烟台模拟)在平面上，若两个正三角 形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空 间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为 _【解析】答案:18 1112112222Sh11VVS hS h18.33Sh()(2)(2012宁德模拟)若a
16、n是等差数列，m,n,p是互不相等的 正整数，则有：(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，类比上述性质，相应地，对等比数列bn，m,n,p是互不相等的正整数，有 _.【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论.答案:m nn pp mpmnbbb1考向3 演绎推理【典例3】已知函数f(x)x22bxc(cb1)若函数f(x)的一个零点为1，且函数yf(x)1有零点(1)证明：3c1且b0.(2)若m是函数yf(x)1的一个零点，判断f(m4)的正负并加以证明【思路点拨】(1)由函数f(x)的一个零点为1，代入可得b与c的关系式，由函数yf(x)1有零点，可用判别式建立不等式从而得
17、到c与b的范围.(2)将f(m-4)用m与c表示，结合(1)判断符号.【规范解答】(1)因为f(x)的一个零点为1，所以f(1)0，即12bc0，即b 又因为cb1，于是c 1，得3c .函数yf(x)1有零点，即方程x22bxc10有实根，故4b24(c1)0c3或c1.又3c ，所以3c1.由b ，知b0.c 1.2c 121313c 12(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1).因为m是函数yf(x)1的一个零点，所以f(m)1.从而f(m)(mc)(m1)0，所以cm1，所以c4m430，即f(m-4)的符号为正.【拓展提升】三段论推理易错点“三段论”式的演绎推理在高
18、考中是常考点，也是证明题的常用方法，一定要保证大前提正确，且小前提是大前提的子集关系，这样经过正确推理，才能得出正确结论；常见易错点是对大前提“凭空想象、思维定势、想当然”，从而出错，或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错【变式训练】已知函数y=f(x)，满足：对任意a,bR,ab，都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),(1)试证明：f(x)为R上的单调 增函数.(2)若x,y为正实数且 比较f(x+y)与f(6)的大小.494xy，【解析】(1)设x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)，x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0，f(x2)
19、-f(x1)(x2-x1)0，x10,f(x2)f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.(2)因为x,y为正实数,且 所以 494xy，149xy(xy)()4xy14y9x14y 9x(13)(132)4xy4xy254，当且仅当 即 时取等号，因为f(x)在R上是增函数，且x+y 6，所以f(x+y)f(6).4y9xxy494xy，5x215y4，254【易错误区】归纳推理不当致误【典例】(2012陕西高考)观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为_.213122，221151233，222111712344，【误区警示】本题在解答中容易出现以下错误：(1)对于给定 的式子，只
20、观察其结果，而不去继续探究下面几个式子，从而 找不到正确的规律而误解.(2)错误地以为：第几个式子，其左 边的最后一项的分母就是几的平方，从而，错误地得到第五个 不等式为 2222111191.23455【规范解答】左边的式子的通项是 右边的 分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边 最后一项分母的关系，所以第五个不等式为 答案:222111123(n1)，22221111123452222211111111.2345662111.66【思考点评】多角度分析规律 通过归纳推理，得到一般规律时，要仔细观察不等式两边式子的特点，从各个不同的角度分析规律，总结不等式中指数、项数、分子
21、、分母之间的数量关系，由此得到一般规律.1(2013济宁模拟)对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是()(A)25 (B)250 (C)55 (D)133【解析】选D.第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，第5次操作为13+33+33=55，可知操作后得到的数以3为周期重复出现，而2 011=3670+1，所以第2 011次操作后得到的数等于第1次操作后得到的数，即为133.2.(2013深圳模拟)下面给出了关于复数的三种类比推理：复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减
22、法运算法则；由向量a的性质|a|2=a2类比复数z的性质|z|2=z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.对于复数的加减法运算法则判断出对；对于 向量a的性质|a|2=a2，但|z|2是实数，而z2不一定是正实数，如z=i，就不成立，故错；对于由复数加法的几何意义判断出对，故选C.3.(2013大连模拟)命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面，则ab”，学生小夏这样证明：设a，b与平面 分别相交于A，B，连接A，B，a，b，AB，aAB，bAB.ab.这里的证明有两个推理，即：和.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这
23、两个推理中不正确的是_.【解析】在空间中，与同一条直线垂直的两条直线不一定平行，因此推理是错误的，应再说明直线a,b与直线AB在同一个平面内.答案:4.(2013海淀模拟)将正整数1，2，3，4，5，6，按照一定的规律填入下表，则2 012将出现在第_行第_列.3 7 11 15 1 2 5 6 9 10 13 4 8 12 16【解析】从1开始，每4个数作为一组占据3列，且被4整除的数位于中间一列的第3行，由于2 012=5034，所以2 012位于第5033-1=1 508列，第3行.答案:3 1 508 1.已知211=2,2213=34,23135=456,，以此类推，第5个等式为()
24、(A)241357=5678(B)2513579=56789(C)2413579=678910(D)2513579=678910【解析】选D.由已给出的规律，第4个等式为：2413 57=5678，第5个等式为：2513579=6 78910，选D.2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提)，而y=是 对数函数(小前提)，所以y=是增函数(结论)”，以上推 理的错误是()(A)大前提错误导致结论错误(B)小前提错误导致结论错误(C)推理形式错误导致结论错误(D)大前提和小前提错误导致结论错误【解析】选A.对数函数y=logax不一定是增函数，当0a0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()(A)b4+b8b5+b7 (B)b4+b8b5+b8 (D)b5b8a3a7，得在等比数列bn中，由4+8=5+7，应有b4+b8b5+b7.证明：b4+b8-b5-b7=b1q3+b1q7-b1q4-b1q6=b1q3(1+q4-q-q3)=b1q3q3(q-1)-(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1)0,b4+b8b5+b7.