1、第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点：1.直接证明；2.间接证明；3.数学归纳法.突破点(一)直接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_.从要_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 思维过程 由因导果 执果索因 推理论证成立证明的结论充分条件内容综合法分析法框图表示P已知Q1 Q1Q2 QnQ结论Q结论P1 P1P2 得到一个明显成立的条件书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证
2、考点贯通抓高考命题的“形”与“神”综合法综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型例 1(2017武汉模拟)已知函数 f(x)(x1)ln xx1.(1)若 0，求 f(x)的最大值；(2)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 xy10 垂直，证明：fxx10.解(1)f(x)的定义域为(0，)当 0 时，f(x)ln xx1.则 f(x)1x1，令 f(x)0，解得 x1.当 0 x0，故 f(x)在(0,1)上是增函数；当
3、 x1 时，f(x)0，故 f(x)在(1，)上是减函数故 f(x)在 x1 处取得最大值 f(1)0.解 证明：由题可得，f(x)ln xx1x1.由题设条件，得 f(1)1，即 1.f(x)(x1)ln xx1.由(1)知，ln xx10，且 x1)当 0 x1 时，x10，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0.当 x1 时，x10，f(x)(x1)ln xx1ln x(xln xx1)ln xxln1x1x1 0，fxx10.综上可知，fxx10.(2)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 xy10 垂直，证明：fxx10.方法技巧 综合法证题的思路 分
4、析法分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法例2 已知a0，证明a2 1a2 2a1a2.证明 要证a2 1a2 2a1a2，只需证a2 1a2a1a(2 2)因为 a0，所以a1a(2 2)0，所以只需证a2 1a2 2a1a 2 2 2，即 2(2 2)a1a 84 2，只需证 a1a2.因为a0，a1a2显然成立当且仅当a1a1时，等号成立，所以要证的不等式成立方法技巧分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻
5、找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证能力练通抓应用体验的“得”与“失”1考点一命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证明法解析：因为证明过程是“从左向右”，即由条件逐步推向结论，故选 B.答案：B 2考点一(2017广州调研)若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下
6、列命题正确的是()Aac2bc2Ba2abb2C.1a1bD.baab解析：a2aba(ab)，ab0，ab0，a(ab)0，即 a2ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得 a2abb2.答案：B 3考点一已知实数 a1，a2，a2 017 满足 a1a2a3a2 0170，且|a12a2|a22a3|a2 0172a1|，证明：a1a2a3a2 0170.证明：根据条件知：(a12a2)(a22a3)(a32a4)(a2 0172a1)(a1a2a3a2 017)0.另一方面，令|a12a2|a22a3|a32a4|a2 0172a1|m，则 a12a2，a22a3，a32
7、a4，a2 0172a1 中每个数或为 m 或为m.设其中有 k 个 m，(2 017k)个m，则(a12a2)(a22a3)(a32a4)(a2 0172a1)km(2 017k)(m)(2k2 017)m.由知：(2k2 017)m0.而 2k2 017 为奇数，不可能为 0，所以 m0.于是知：a12a2，a22a3，a32a4，a2 0162a2 017，a2 0172a1.所以 a122 017a1，即得 a10.从而 a1a2a3a2 0170.命题得证4已知 m0，a，bR，求证：amb1m2a2mb21m.证明：因为 m0，所以 1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2
8、(1m)(a2mb2)，即证 m(a22abb2)0，即证 m(ab)20，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证考点二突破点(二)间接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”1反证法假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法不成立矛盾2用反证法证明问题的一般步骤第一步 分清命题“pq”的条件和结论 第二步 作出命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证
9、明了命题pq为真 3.常见的结论和反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个都没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有(n1)个 至多有n个 至少有(n1)个 都是 不都是 对任意x成立 存在某个x不成立 对任意x不成立 存在某个x成立 p或q 綈p且綈q p且q 綈p或綈q 不都是 都是 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明否定性命题例 1 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中任意三项不可能按原来顺序成等差数列解(1)当 n1 时，a1S12a12，则 a11.又 anSn2，所以 an1Sn12，两式相减得 a
10、n112an，所以an是首项为 1，公比为12的等比数列，所以 an 12n1.解 证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1，aq1，ar1(pqr，且 p，q，rN*)，则 2 12q 12p12r，所以 22rq2rp1.(*)又因为 pqr，所以 rq，rpN*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证(2)求证：数列an中任意三项不可能按原来顺序成等差数列证明存在性问题例 2 若 f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数 h(x)1x2是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由解(1)由已
11、知得 g(x)12(x1)21，其图象的对称轴为 x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即12b2b32b，解得 b1 或 b3.因为 b1，所以 b3.解 假设函数 h(x)1x2在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为 h(x)1x2在区间(2，)上单调递减，所以有hab，hba，即 1a2b，1b2a，解得 ab，这与已知矛盾故不存在(2)是否存在常数 a，b(a2)，使函数 h(x)1x2是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由证明“至多”“至少”“唯一”命题例
12、 3 已知 f(x)ln(1ex)mx(xR)，对于给定区间(a，b)，存在 x0(a，b)，使得fbfabaf(x0)成立，求证：x0 唯一证明 假设存在 x0，x0(a，b)，且 x0 x0，使得fbfabaf(x0)，fbfabaf(x0)成立，即 f(x0)f(x0)因为 f(x)ex1exm，记 g(x)f(x)，所以g(x)ex1ex20，f(x)是(a，b)上的单调递增函数所以 x0 x0，这与 x0 x0 矛盾，所以 x0 是唯一的能力练通抓应用体验的“得”与“失”1考点三用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要作的假设是()A方程 x
13、3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方程 x3axb0 至多有两个实根D方程 x3axb0 恰好有两个实根解析：用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个实根的否定是没有实根，故作的假设是“方程 x3axb0 没有实根”答案：A 2考点一、三若 a，b，c 是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab 与 ab 及 ab 中至少有一个成立；ac，bc，ab 不能同时成立其中判断正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：由于 a，b，c 不全相等，则 ab，bc，ca 中至少有一个不为 0，故正确；显然正确；令 a2，b3，c5，满
14、足 ac，bc，ab，故错误答案：C 3已知 xR，ax212，b2x，cx2x1，试证明 a，b，c 至少有一个不小于 1.证明：假设 a，b，c 均小于 1，即 a1，b1，c1，则有 abc3，而 abcx2122xx2x12x22x1232x12233，两者矛盾，所以假设不成立，故 a，b，c 至少有一个不小于 1.考点三4考点一设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列解：(1)设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn
15、，得，(1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，Snna1，q1，a11qn1q，q1.解：证明：假设数列an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故数列an1不是等比数列(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列5考点二已知四棱锥 S-ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SBSD 2，SA1.(1)求证：SA平面 ABCD；(2)在棱 SC 上是否存在异于 S，C
16、 的点 F，使得 BF平面SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由已知得 SA2AD2SD2，故 SAAD.同理 SAAB.又 ABADA，所以 SA平面 ABCD.解：假设在棱 SC 上存在异于 S，C 的点 F，使得 BF平面 SAD.BCAD，BC平面 SAD.BC平面 SAD.而 BCBFB，平面 FBC平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，假设不成立故在棱 SC 上不存在异于 S，C 的点 F，使得BF平面 SAD.(2)在棱 SC 上是否存在异于 S，C 的点 F，使得 BF平面SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不
17、存在，请说明理由突破点(三)数学归纳法基础联通抓主干知识的“源”与“流”一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取_时命题成立；(2)(归纳递推)假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立上述证明方法叫做数学归纳法k1第一个值 n0(n0N*)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”用数学归纳法证明等式例 1 设 f(n)112131n(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明(1)当 n2 时，左边f(1)1，右边21121
18、 1，左边右边，等式成立(2)假设 nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)fk1 1k1 k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当 nk1 时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)方法技巧用数学归纳法证明等式的策略(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值(2)由 nk 到 nk1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利
19、用 nk 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明用数学归纳法证明不等式例 2 用数学归纳法证明：1 122 132 1n221n(nN*，n2)证明(1)当 n2 时，1 1225421232，命题成立(2)假设 nk(k2，kN*)时命题成立，即 1 122 132 1k221k.当nk1时，1 122 132 1k21k1221k1k12 2n12均成立证明：(1)当 n2 时，左边11343；右边 52.左边右边，不等式成立(2)假设 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即113 115 112k1 2k12.则当 nk1 时，113 115 112k11
20、12k11 2k122k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k32 2k1 2k3 2k12 2k1 2k112.当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立3考点三(2017常德模拟)设 a0，f(x)axax，令 a11，an1f(an)，nN*.(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解：(1)a11，a2f(a1)f(1)a1a；a3f(a2)a a1aa a1a a2a；a4f(a3)a a2aa a2a a3a.猜想 anan1a(nN*)解：证明：易知，n1 时，猜想正确假设 nk(kN*)时猜想正确，即 akak1a，则 ak1f(ak)aakaakaak1aaak1aak1a1ak11a.这说明，nk1 时猜想正确由知，对于任何 nN*，都有 anan1a.(2)用数学归纳法证明你的结论