1、第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A. B. C. D.解析sin 2cos ，sin2 4sin cos 4cos2.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选C.答案C2.(2015晋中模拟)已知，sin，则cos 等于()A. B. C.或 D.解析.sin，cos，cos coscos sinsin .答案A3.钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A.5 B. C.2 D.1解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B
2、135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC.故选B.答案B4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A.3 B. C. D.3解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6，故选C.答案C5.已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为()A. B. C. D.或解析依题意得sin ，cos .注意到sin()sin ，因此有(否则，若，则有0，0sin sin()，这与“sin()sin ”矛盾)，则cos()，sin
3、 sin()sin()cos cos()sin .答案A二、填空题6.(2015天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_.解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.答案87.(2015南昌模拟)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.c
4、os C的最小值为.答案8.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米.解析如题图，在ABD中，BD400米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得.所以，得AD400(米).在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理可得AC2AD2CD22ACCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米).
5、故索道AC的长为400米.答案400三、解答题9.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值.解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acos cos Asin .10.(2015唐山模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin Bbcos C3.(1)求b；(2)若ABC的面积为，求c.解(1)由正弦定理得：sin Csin Bsin Bcos
6、 C.又sin B0，所以sin Ccos C，C45.又bcos C3，所以b3.(2)因为SABCacsin B，csin B3，所以a7，由余弦定理可得c2a2b22abcos C25.所以c5.11.(2015山东卷)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值.解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ， 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ).(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立.因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.