1、第1讲等差数列、等比数列的基本问题一、选择题1.(2015焦作模拟)在等差数列an中，a13a3a1510，则a5的值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析设数列an的公差为d，a1a152a8，2a83a310，2(a53d)3(a52d)10，5a510，a52.答案A2.(2015广州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若2S4S5S6，则数列an的公比q的值为()A.2或1 B.1或2C.2 D.1解析法一若q1，则S44a1，S55a1，S66a1，显然不满足2S4S5S6，故A、D错.若q1，则S4S60，S5a50，不满足条件，故B错，因此选C.法二经检验q1不适合，则由2S4
2、S5S6，得2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.答案C3.已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A.110 B.90 C.90 D.110解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S101020109(2)110.答案D4.(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.解析由a2，a4，
3、a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1).答案A5.(2015福建卷)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A.6 B.7 C.8 D.9解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9，故选D.答案D二、填空题6.(2015阳泉模拟)若等
4、差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.解析根据题意知a7a8a93a80，即a80.又a8a9a7a100，a90，当n8时，an的前n项和最大.答案87.在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15_.解析设等比数列an的公比为q，由已知，得解得q4.又a9a11a1q8a3q8(a1a3)q882，a13a15a1q12a3q12(a1a3)q1281，所以a9a11a13a15213.答案38.(2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_.解析由等比数列性质知a2a3a1
5、a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.答案2n1三、解答题9.已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(n1，2，).设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，).数列3n的前n
6、项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为2n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.10.(2015洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d，10，18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去).故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bnb1qn12n
7、152n3，即数列bn的通项公式bn52n3.(2)证明由(1)得数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.所以S1，2.因此是以为首项，2为公比的等比数列.11.已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)求数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围.解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，从而Sn.(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为q，则q，Tm8，随m增加而递减，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sn(n29n)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使对任意mN*总有SnTm，则104，得6.即实数的取值范围为(6，).