1、专题过关检测（九） 导数的单调性、极值、最值问题1(2019洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)ln x，mR.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2)处的切线与直线xy0平行，求实数n的值；(2)试讨论函数f(x)在区间1，)上的最大值解：(1)由题意得f(x)，f(2).由于函数f(x)的图象在(2，f(2)处的切线与直线xy0平行，1，解得n6.(2)f(x)，令f(x)n；令f(x)0，得x1时，函数f(x)在1，n)上单调递增，在(n，)上单调递减，f(x)maxf(n)m1ln n.2已知x1是f(x)2xln x的一个极值点(1)求函数f(x)的单调递减区间(2)设函数g(x
2、)f(x)，若函数g(x)在区间1,2内单调递增，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2，x(0，)因为x1是f(x)2xln x的一个极值点，所以f(1)0，即2b10.解得b3，经检验，适合题意，所以b3.因为f(x)2，解f(x)0，得0x0)，g(x)2(x0)因为函数g(x)在1,2上单调递增，所以g(x)0在1,2上恒成立，即20在1,2上恒成立，所以a2x2x在1,2上恒成立，所以a(2x2x)max，x1,2因为在1,2上，(2x2x)max3，所以a3，即a的取值范围为3，)3(2019沈阳质量监测)已知函数f(x)(x1)2mln x，mR.(1)当
3、m2时，求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)试讨论函数f(x)的单调性解：(1)当m2时，f(x)(x1)22ln x，其导数f(x)2(x1)，所以f(1)2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)，所以切线方程为2xy20.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(x1)，令g(x)2x22xm，x0，其图象的对称轴为x，gm，g(0)m.当g0，即m时，g(x)0，即f(x)0，此时，f(x)在(0，)上单调递增；当g0，即0m时，令g(x)0，则x1，x2，此时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减；当g(0)0，即m0时，令g(x)0，则x0，f(x)在上单调递
4、减，在上单调递增4(2019兰州诊断)已知函数f(x)x3(a2a2)x2a2(a2)x，aR.(1)当a1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)求函数yf(x)的极值点解：(1)当a1时，f(x)x3x2x，f(x)x22x1(x1)20，函数f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)f(x)x2(a2a2)xa2(a2)(xa2)x(a2)，当a1或a2时，a2a2，f(x)0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点当a2时，a2a2，可得当x(，a2)时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当x(a2，a2)时，f(x)0，函数f(x)为增函数当xa2时，函数f(x)有极大值f(a
5、2)；当xa2时，函数f(x)有极小值f(a2)当1a2时，a20，函数f(x)为增函数；当x(a2，a2)时，f(x)0，函数f(x)为增函数当xa2时，函数f(x)有极小值f(a2)；当xa2时，函数f(x)有极大值f(a2)5已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为x(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.(2)f(x)，当a0，x(0，)
6、时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，f(x)在上单调递减当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.a0，ln(a)ln 20，解得a2，实数a的取值范围是2,0)6已知函数f(x)4x33x2cos cos ，其中xR，为参数，且00时，当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x时，f(x)取得极小值，极小值fcos3cos ，要使f0，则有cos3cos 0，所以0cos ，因为02，故或.当cos 0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x0时，f(x)取得极小值极小值f(0)cos .若f(0)0，则cos 0，矛盾所以当cos 0时，f(x)的极小值不会大于零综上所述，要使函数f(x)在R内的极小值大于零，参数的取值范围是.