1、2014学年上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分 1.已知集合,则_【答案】或【解析】试题分析：因为,所以或.考点：集合的运算.2.抛物线的焦点到准线的距离是_【答案】4【解析】试题分析：抛物线的焦点是 ,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.考点：抛物线性质.3.若,其中、,是虚数单位,则_【答案】【解析】试题分析：由得, ,所以.考点：复数相等、复数的模.4.已知函数,若,且,则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由 ,又,所以.考点：1.指数运算；2
2、.基本不等式.5.设等差数列满足,的前项和的最大值为,则=_【答案】【解析】试题分析：由,得公差,所以 故,所以,.考点：等差数列的通项及前n项和.6.若（）,且,则 _【答案】【解析】试题分析：由,中取得.考点：二项式定理7.已知对任意,向量都是直线的方向向量,设数列的前项和为,若,则_【答案】【解析】试题分析：,向量都是直线的方向向量,则,是公比为的等比数列,所以考点：1.直线的方向向量；2等比数列前n项和的极限.8.已知定义在上的单调函数的图像经过点、,若函数的反函数为,则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：的图像经过点、,则 所以,又是单调函数且,所以是减函数,故也是减函数,所以
3、,所以,即不等式的解集为.考点：1.函数单调性；2.反函数；3.不等式. 9.已知方程在上有两个不相等的实数解,则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：因为,所以方程在上有两个不相等的实数解,即直线 与在的图像有两个不同交点,结合图像可得,故实数的取值范围是.考点：1.三角变换；2.三角函数的图像.10.随机变量的分布列如下表所示,其中,成等差数列,若,则的值是_【答案】【解析】试题分析：依题意可得,解得,所以.考点：随机变量的分布列、期望、方差.11.现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多张则不同取法的种数为_【答
4、案】【解析】试题分析：若红色卡片有张则不同取法的种数为；若不取红色卡片则不同取法的种数为,故不同取法的种数为.考点：分类计数原理与组合12.在平面直角坐标系中,点和点满足按此规则由点得到点,称为直角坐标平面的一个“点变换”在此变换下,若,向量与的夹角为,其中为坐标原点,则的值为_【答案】【解析】试题分析：依题意可得,所以 .故.考点：1.数量积坐标运算；2.信息迁移题13.设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点,则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由可知,设,当且仅当时对应的x值有4个,因此问题可转化为在上有两个不同实根,结合二次函数图像可得 .考点：函数与方程。14.把正整数排
5、列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则_【答案】【解析】试题分析：图乙中第n行有n个数,且第n行最后一个数为 ,前n行共有个数,由 ,可知2015在第45行,第45行第一个数为,又该行的数从小到大构成公差为2的等差数列,因此 ,所以.考点：1. 三角形数阵；2.等差数列.二选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.在中,“”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D
6、既非充分又非必要条件【答案】B 考点：1.解三角形；2. 充分条件与必要条件16.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,即,故选D.考点：平面向量的基底及向量共线17.极坐标方程（）表示的图形是（ ）A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线【答案】C【解析】试题分析：,表示一个圆,表示一条射线,故选C.考点：极坐标方程18.在四棱锥中,分别为侧棱,的中点,则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ）ABCD【答案】C
7、【解析】试题分析：由题意可得 平面 ,所以,故选C.考点：等积法求棱锥的体积三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分在中,已知,外接圆半径（1）求角的大小；（2）若角,求面积的大小. 【答案】（1）；（2）考点：1.诱导公式及三角变换；2.解三角形.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分如图,四棱锥的底面为菱形,平面,为的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值EPACDB【答案】（1）见试题解析；
8、（2）【解析】（1）要证明平面,可证明,；（2）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值,有两种方法：一是以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系利用空间向量来求,二是在平面上,过作且,连结,可以证明就是平面与平面所成二面角的平面角,在中, 所以平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为.试题分析：试题解析：EPACDB（1）连结,由已知得与都是正三角形,所以, （1分）因为,所以,（2分）又平面,所以,（4分）因为,所以平面（6分）（2）以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系由（1）知平面的一个法向量为,又,所以,（2分）EPACDBzxy设平面的一个法向量为,由得取,则
9、,故, （4分）设与的夹角为,则（7分）所以,平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为（8分）。（2）解法二（图略）在平面上,过作且,连结,则四边形是平行四边形,即直线是平面与平面的交线（2分）因为,所以平面,故,所以,又,所以就是平面与平面所成二面角的平面角 （5分）在中,（6分） （7分）所以,平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为（8分）考点：1.线面垂直的证明；2二面角的求法.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,其中是与气象有关的参数,且若用每天的
10、最大值为当天的综合污染指数,并记作（1）令,求的取值范围；（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标【答案】（1）；（2）,.【解析】试题分析：（1）当时,当时,由,可得,所以的取值范围是；（2）先得出,再根据在时是关于的减函数,在时是增函数,可得,再由,解得.试题解析：（1）当时,； （2分）当时,因为,所以, （4分）即的取值范围是 （5分）（2）当时,由（1）,令,则, （1分）所以 （3分）于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,因为,由,所以,当时,； 当时,即 （6分）由,解得 （8分）所以,当时,综合污染指数不超标 （9分
11、）考点：1.函数应用题；2.函数最值。22.(本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分已知椭圆（）的左、右焦点分别为、,点,过点且与垂直的直线交轴负半轴于点,且（1）求证：是等边三角形；（2）若过、三点的圆恰好与直线：相切,求椭圆的方程；（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点在轴上是否存在一个定点,使得、三点共线,若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由【答案】（1）见试题解析；（2）；（3）存在点,使得、三点共线【解析】试题分析：（1）先由及解得,所以,即是等边三角形；（2）由得点的坐标为,由是直角
12、三角形得, 所求椭圆的方程为；（3）设出直线方程：,则由得,再设,可得直线的方程为,令得,故存在点,使得、三点共线 试题解析：（1）设（）,由,故,因为,所以, （1分）,故,（2分）又,故由得,所以,（3分）所以,即是等边三角形（4分）（2）由（1）知,故,此时,点的坐标为,（1分）又是直角三角形,故其外接圆圆心为,半径为,（3分）所以, （5分）所求椭圆的方程为 （6分）（3）由（2）得,因为直线过且不与坐标轴垂直,故可设直线的方程为：, （1分）由得, （2分）设,则有,（3分）由题意,故直线的方向向量为,所以直线的方程为, （4分）令,得（5分）即直线与轴交于定点所以,存在点,使得、三
13、点共线 （6分）（注：若设,由、三点共线,得,得）考点：1.曲线方程的求法；2.直线与椭圆；3.定点问题23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分已知数列中,的前项和为,且满足（）（1）试求数列的通项公式；（2）令,是数列的前项和,证明：；（3）证明：对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立【答案】（1） ；（2）见试题解析；（3）见试题解析.【解析】试题分析：（1）由得相减得（）,再用叠加法可得；（2）先裂项得,从而可得；（3）先通过作差证明随着的增大而增大 再由,得,化简得,所以,当,即时,取即可 当,即时,记的整数部分为,取即可 试题解析：（1）由（）,得（）,所以（）, 即（） （2分）又,所以 （4分）（2）,（2分）所以, （5分）所以,（3）由（2）,因为,所以随着的增大而增大 （1分）若,则,化简得, （2分）因为,所以,所以, （4分）当,即时,取即可 （5分）当,即时,记的整数部分为,取即可 （7分）综上可知,对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立 （8分）考点：1.叠加法求通项；2裂项求和；3.数列中的恒成立问题.