1、第一节排列、组合本节主要包括 2 个知识点：1.两个计数原理；2.排列、组合问题.第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列突破点(一)两个计数原理基础联通抓主干知识的“源”与“流”1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法mnmn3两个计数原理的比较名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种
2、数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性分步计数原理可利用“串联”电路来理解 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”分类加法计数原理能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n 类(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数例 1(1)在所有的两位数中，个位数字大
3、于十位数字的两位数共有_个 解 析 (1)法 一：按 个 位 数 字 分 类，个 位 可 为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，则共有1234567836 个两位数法二：按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个，则共有 8765432136 个两位数答案 36(2)如图，从 A 到 O 有_种不同的走法(不重复过一点)解析 分 3 类：第一类，直接由 A 到
4、O，有 1 种走法；第二类，中间过一个点，有 ABO 和 ACO 2 种不同的走法；第三类，中间过两个点，有 ABCO 和 ACBO2 种不同的走法由分类加法计数原理可得共有 1225 种不同的走法答案 5解析 当 m1 时，n2,3,4,5,6,7，共 6 个；当 m2 时，n3,4,5,6,7，共 5 个；当 m3 时，n4,5,6,7，共 4 个；当 m4 时，n5,6,7，共 3 个；当 m5 时，n6,7，共 2 个故共有 6543220 个满足条件的椭圆答案 20(3)若椭圆x2my2n1 的焦点在 y 轴上，且 m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个
5、数为_易错提醒(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复 分步乘法计数原理能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可(2)完成每一步有若干种方法(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数例 2(1)从1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f(x)ax2bxc 的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)解析 一个二次函数对应着 a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法
6、有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 33218 个二次函数若二次函数为偶函数，则 b0，同理可知共有 326 个偶函数答案 18 6解析 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26163种可能情况答案 63(2)如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有_种易错提醒(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步
7、骤都完成了，才算完成这件事(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成两个计数原理的综合问题在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步例 3(1)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有()A144 个 B120 个C96 个 D72 个解析 由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是 4
8、 或5.当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有243248 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4中任选一个，共有 343272 个偶数故符合条件的偶数共有 4872120(个)答案 B解析 第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 4312 种安排方案第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 24324 种安排方案因此不同的安排方案共有 122436(种)答案 36(2)某班一天上午有
9、 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节课，第一节课只能从 A、B 两人中安排一个，第四节课只能从 A、C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有_种解析 区域 A 有 5 种涂色方法，区域 B 有 4 种涂色方法，区域 C 的涂色方法可分 2 类：若 C 与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法；若 C 与 A 涂不同色，此时区域 C 有 3 种涂色方法，区域 D 也有 3 种涂色方法所以共有 54145433260 种涂色方法答案 260(3)如图，矩形的对角线把矩形分成 A，B，C，D 四部分，现用 5 种不同颜色给
10、四部分涂色，每部分涂 1 种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法方法技巧使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1考点二某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210 C336 D120解析：分三步，先插一
11、个新节目，有 7 种方法，再插第二个新节目，有 8 种方法，最后插第三个节目，有 9 种方法故共有 789504 种不同的插法答案：A 2考点二教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A10 种 B25 种C52 种 D24 种解析：由一层到二层、由二层到三层、由三层到四层、由四层到五层各有 2 种走法，故共有 222224 种不同的走法答案：D 3考点一已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16 C13 D10解析：分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个
12、不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513 个不同的平面答案：C 4考点一我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有()A18 个 B15 个C12 个 D9 个解析：依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3 个数，分别为 400,040,004；由 3,1,0组成 6 个数，分别为 310,301,130,103,013,031；由 2,2,0 组成 3 个数，分别为 220,20
13、2,022；由 2,1,1 组成 3 个数，分别为 211,121,112.共计 363315 个“六合数”答案：B 5.考点三如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_种1 4 5 2 3 解析：按区域 1 与 3 是否同色分类区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3，有 4 种方法，再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)，有 3216 种方法所以区域 1 与 3 涂同色时，共有 4624 种方法区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3，有 4312 种方法，第二步，涂区域 2
14、有 2 种涂色方法，第三步，涂区域 4 只有一种方法，第四步，涂区域 5 有 3 种方法所以这时共有 1221372 种方法故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为247296.答案：966考点三有 A，B，C 型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁 4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作 C 型电脑，而丁只会操作 A 型电脑从这 4 个操作人员中选 3 人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有_种(用数字作答)解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从 4个操作人员中选 3 人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第
15、1 类，选甲、乙、丙 3 人，由于丙不会操作 C 型电脑，分2 步安排这 3 人操作的电脑的型号，有 224 种方法；第 2 类，选甲、乙、丁 3 人，由于丁只会操作 A 型电脑，这时安排 3 人分别去操作这三种型号的电脑，有 2 种方法；第 3 类，选甲、丙、丁 3 人，这时安排 3 人分别去操作这三种型号的电脑，只有 1 种方法；第 4 类，选乙、丙、丁 3 人，同样也只有 1 种方法根据分类加法计数原理，共有 42118 种选派方法答案：8突破点(二)排列、组合问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1排列与排列数(1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，_，叫做从 n 个不
16、同元素中取出m 个元素的一个排列(2)排列数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Amn.按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数2组合与组合数(1)组合：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 Cmn.3排列数、组合数的公式及性质排列数组合数公式Amn_ _CmnAmnAmm_性质Ann；0！C0nCmn；CmnCm1nCmn1备注n
17、，mN*且 mnn(n1)(n2)(nm1)nn1nm1m！n！m！nm！n！11Cnmnn！nm！4排列与组合的比较名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素，元素无重复 不同点 排列与顺序有关 组合与顺序无关 两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”排列问题解决排列问题的主要方法(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置(2)解决相
18、邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”例 1(1)用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B648 C328 D360解析 首先应考虑是否含“0”当含有 0，且 0 排在个位时，有 A299872 个三位偶数，当 0 排在十位时，有 A14A18
19、4832 个三位偶数当不含 0 时，有 A14A28487224 个三位偶数由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有 7232224328(个)答案 C 解析 先把 3 名乘客进行全排列，有 A336 种排法，排好后，有 4 个空，再将 1 个空位和余下的 2 个连续的空位插入 4个空中，有 A2412 种排法，则共有 61272 种候车方式答案 C(2)市内某公共汽车站有 6 个候车位(成一排)，现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数为()A48 B54 C72 D84解析 首先排两个奇数 1,3，有 A22种排法，再在 2,4 中取一个数放在 1
20、,3 排列之间，有 C12种排法，然后把这 3 个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有 A22种排法，即满足条件的四位数的个数为 A22C12A228.答案 8(3)用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_组合问题组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等(2)解题思路：分清问题是否为组合问题；对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题例 2(1)某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生
21、和 4名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为()A85 B86 C91 D90解析 法一(直接法)：由题意，可分三类考虑：第 1 类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C13C24C23C14C3331；第 2 类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C23C24C13C3434；第 3 类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C23C14C13C2421.所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31342186.法二(间接法)：从 5 名男生和 4 名女生中任意选出4 人，男、女生都有的选法有 C4
22、9C45C44120 种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 C47C4434 种所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 1203486.答案 B解析 因为 1,2,3，9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使取出的 4 个不同的数的和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C45C44C25C2466 种不同的取法答案 D(2)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A60 B63 C65 D66解析 第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法有 C14C212
23、264(种)第二类，不含有红色卡片，不同的取法有 C3123C3422012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264208472(种)答案 472(3)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_方法技巧有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含 有”或“不 含 有”某 些 元 素 的 组 合 题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔
24、除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型考虑逆向思维，用间接法处理 分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象例 3(1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法解析 先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C26C24C22A33种方法，再将 3 组毕业生
25、分到 3 所学校，有 A336 种方法，故将 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C26C24C22A33A3390 种不同的分派方法答案 90解析 分两步完成：第一步，将 4 名调研员按 2,1,1 分成三组，其分法有C24C12C11A22种；第二步，将分好的三组分配到 3 个学校，其分法有 A33种，所以满足条件的分配方案有C24C12C11A22A3336 种答案 36(2)某科室派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为_解析 将 6 名教师分组，分三步完成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种
26、分法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种分法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种分法根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C3360 种分法再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336 种分法，故共有 606360 种不同的分法答案 360(3)若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法方法技巧 分组分配问题的三种类型及求解策略类型 求解策略 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数 部分均分 解题时注
27、意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等分组 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1考点一A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A60 种 B48 种C30 种 D24 种解析：由题知，可先将 B，C 二人看作一个整体，再与剩余人进行排列，则不同的座次有 A22A4448 种答
28、案：B 2考点一有 5 列火车分别准备停在某车站并行的 5 条轨道上，若快车 A 不能停在第 3 道上，货车 B 不能停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法数为()A56 B63 C72 D78解析：若没有限制，5 列火车可以随便停，则有 A55种不同的停靠方法；快车 A 停在第 3 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A44种；货车 B 停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A44种；快车 A 停在第 3 道上，且货车 B 停在第 1 道上，则5 列火车不同的停靠方法为 A33种故符合要求的 5 列火车不同的停靠方法数为 A552A44A3312048678.答案：D
29、3考点三某局安排 3 名副局长带 5 名职工去 3 地调研，每地至少去 1 名副局长和 1 名职工，则不同的安排方法总数为()A1 800 B900 C300 D1 440解析：分三步：第一步，将 5 名职工分成 3 组，每组至少 1 人，则有C35C12C11A22C15C24C22A22种不同的分组方法；第二步，将这 3 组职工分到 3 地有 A33种不同的方法；第三步，将 3 名副局长分到3 地有 A33种不同的方法根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有C35C12C11A22C15C24C22A22A33A33900(种)，故选 B.答案：B 4考点二如图所示，要使电路接通，则 5
30、个开关不同的开闭方式有_种解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通有 C12(C13C23C33)14 种方式；当第一组两个都接通时，电路接通有 C22(C13C23C33)7 种方式，所以共有 14721 种方式答案：215考点二有 9 名学生，其中 2 名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4 名既会下围棋又会下象棋；现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有_种不同的选派方法解析：设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A,3 名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合 B,4 名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C，则选派 2 名
31、参赛同学的方法可以分为以下 4 类：第一类：A 中选 1 人参加象棋比赛，B 中选 1 人参加围棋比赛，选派方法为 C12C136 种；第二类：C 中选 1 人参加象棋比赛，B 中选 1 人参加围棋比赛，选派方法为 C14C1312 种；第三类：C 中选 1 人参加围棋比赛，A 中选 1 人参加象棋比赛，选派方法为 C14C128 种；第四类：C 中选 2 人分别参加两项比赛，选派方法为 A2412 种；由分类加法计数原理，不同的选派方法共有 61281238(种)答案：38全国卷 5 年真题集中演练明规律1(2016全国甲卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位
32、于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9解析：分两步：第一步，从 EF，有 6 条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有 6318 条可以选择的最短路径故选 B.答案：B 2(2016全国丙卷)定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m，a1，a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m4，则不同的“规范 01数列”共有()A18 个 B16 个C14 个 D12 个解析：当 m4 时，数列an共有 8 项，其中 4
33、 项为 0,4 项为 1，要满足对任意 k8，a1，a2，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，则必有 a10，a81，a2 可为 0，也可为 1.(1)当 a20 时，分以下 3 种情况：若 a30，则 a4，a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，则有 C144 种情况；若 a31，a40，则 a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，有 C133 种情况；若 a31，a41，则 a5必为 0，a6，a7 中任意一个为 0 均可，有 C122 种情况；(2)当a21 时，必有 a30，分以下 2 种情况：若 a40，则 a5，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C133 种情况；若
34、a41，则 a5 必为0，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C122 种情况综上所述，不同的“规范 01 数列”共有 4323214 个，故选 C.答案：C 3(2012新课标全国卷)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有()A12 种 B10 种C9 种D8 种解析：2 名教师各在 1 个小组，给其中 1 名教师选 2 名学生，有 C24种选法，另 2 名学生分配给另 1 名教师，然后将 2 个小组安排到甲、乙两地，有 A22种方案，故不同的安排方案共有 C24A2212 种，选 A.答案：A