1、第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念与性质一、选择题1.(2022安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21C.x21 D.y21解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选A.答案A2.(2022广东卷)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m()A.2 B.3 C.4 D.9解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.答案B3.(2022湖南卷)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a2
2、9c2，e.故选D.答案D4.(2022济宁模拟)已知圆的方程为(x1)2(y1)29，点P(2，2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()A.3 B.4 C.5 D.6解析依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC|236.因为圆心到BD的距离为，所以|BD|22.则四边形ABCD的面积为S|AC|BD|626.故选D.答案D5.(2022重庆卷)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A. B.C.1 D.解
3、析双曲线1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(a，0)，A2(a，0)，易求B ，C ，则kA2C，kA1B，又A1B与A2C垂直，则有kA1BkA2C1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k1.答案C二、填空题6.(2022北京卷)已知(2，0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.解析由题意：c2，a1，由c2a2b2.得b2413，所以b.答案7.(2022山东卷)过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.解析由题意，圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示， P(1，)，PAx轴，PAPB.POA为直角三角形，其中OA1，AP，则OP2，OPA30，
4、APB60.|cosAPBcos 60.答案8.(2022广州模拟)已知点P(0，2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若PQF90，则p_.解析由抛物线的定义可得|MQ|MF|，F ，又PQQF，故M为线段PF的中点，所以M ，把M ，代入抛物线y22px(p0)得，12p，解得p，故答案为.答案三、解答题9.(2022全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因
5、为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2 (1k2)x1x2k(x1x2)1 8.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.10.(2022新课标全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.
6、解(1)根据c及题设知M ，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.11.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且|BF2|，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.解设椭圆的焦距为2c，则F1(c，0)，F2(c，0).(1)因为B(0，b)，所以|BF2|a.又|BF2|，故a.因为点C 在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得或所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.6
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