1、第3讲平面向量一、选择题1.(2022陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向不相同时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B2.(2022安徽卷)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A.|b|1 B.abC.ab1 D.(4ab)解析由于ABC是边长为2的等边三角形；()()0，即()0，(4ab)，即(4ab)，故选D.答案D3.函数
2、ytan的部分图象如图所示，则()() A.4 B.6C.1 D.2解析由条件可得B(3，1)，A(2，0)，()()()221046.答案B4.(2022太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，则向量a，b的夹角为()A. B. C. D.解析因为a，b均为单位向量，所以(2ab)(a2b)223ab，解得ab，所以cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案A5.(2022四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则()A.20 B. 15 C.9 D.6解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，选C.答案C二、填空题6.(202
3、2广州模拟)已知两个非零向量a，b的夹角为60，且|a|b|3，cta(1t)b，若bc，则t_.解析因为bc，所以bc0，又cta(1t)b，所以bctab(1t)b20.因为a，b的夹角为60，且|a|b|3，所以ab|a|b|cos 6033，b29.所以t9(1t)0，解得t2.答案27.(2022郑州模拟)如图，在ABC中，C90，且ACBC3，点M满足2，则_.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以(2，1)(0，3)3.法二()22()23.答案38.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动
4、点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的_(填重心、垂心、内心或外心).解析由条件，得，从而(|)0，得，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.答案垂心三、解答题9.已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值.解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f(x)2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时
5、，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾；综上所述.10.(2022日照模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且pq.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解(1)因为pq，所以pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，即sin2Bcos2B2sin2B20，即sin2B，又角B是锐角三角形
6、ABC的内角，所以sin B，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为，所以SABCacsin B，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accos B，又b2，所以a2c28，联立，解得ac2.11.(2022豫西名校期末)已知A，B是ABC的两个内角，acos isin j(其中i，j是互相垂直的单位向量)，且|a|.(1)试问tan Atan B是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；(2)求tan C的最大值，并判断此时三角形的形状.解(1)因为|a|22cos2sin2，1cos(AB)，cos Acos Bsin Asin B0；0，所以tan Atan B(定值).(2)由(1)可知A，B为锐角，则tan A0，tan B0，tan Ctan(AB)3.(当且仅当tan Atan B，“”成立)所以tan C的最大值为，此时三角形的形状为等腰三角形.5
