1、专题2 不等式与线性规划第3练“三个二次”的转化与应用题型分析高考展望“二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具,如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好的掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.常考题型精析 高考题型精练 题型一 函数与方程的转化 题型二 函数与不等式的转化 题型三 方程与不等式的转化 常考题型精析 题型一 函数与方程的转化 例1 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在
2、区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解 令 f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a89(a89)2890，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可.f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a15或 a1.检验：(1)当f(1)0，a1时，f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当 f(3)0 时，a15，此时 f(x)x2135 x65.令 f(x)0，即 x2135 x650，解得 x25或
3、x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a15.综上所述，a1.点评 二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合方法解决.变式训练1 设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为_.|lg x|，x0，x22x，x0，解析 由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，12如图画出f(x)的图象，由f(x)知有4个根，由f(x)1知有3个根，故函数y2f 2(x)3f(x)1共有7个零点.127题型二 函数与不等式的转化 例
4、2 已知函数yf(x)是定义在R上的增函数，函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x，yR，不等式f(x26x21)f(y28y)3时，x2y2的取值范围是_.解析 由函数f(x1)的图象关于点(1,0)对称可知，函数f(x)为奇函数.所以不等式f(x26x21)f(y28y)0可化为f(x26x21)f(y28y)f(y28y).又因为函数f(x)在R上为增函数，故必有x26x21y28y，即x26x21y28y0，配方，得(x3)2(y4)23，故不等式组表示为x32y423，它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x2y2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x2
5、y2的最小值在点A处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x2y2322213，而最大值为圆心(3,4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x2y2(52)249，故13x2y249.答案(13,49)点评 不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2 已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x，则f(10 x)0的解集为()A.x|xlg 2B.x|1xlg 2D.x
6、|x0 的解集为x|1x0 等价于110 x1，而 10 x12可化为 10 x10，1lg 2即10 x10lg 2.由指数函数的单调性可知xlg 2，故选D.答案 D 题型三 方程与不等式的转化 例3 已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；解 由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图所示，得 f02m10f14m20 m12，mR，m56.即56m0f1000m12，m12，m1 2或m1 2，1m0.即120，且AB，则实数p的取值范围是()A.p
7、4B.4p0 C.p0D.R 解析 当A时，(p2)240，4p0.123456789101112高考题型精练 当A时，方程x2(p2)x10有两负根，1234567891011120，x1x2p24.答案 A 2.已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上单调递增，则f(2x)0的解集为()A.x|x2或x2B.x|2x2 C.x|x4D.x|0 xf(2)或f(2x)f(2).2x2或2x2，即x4.答案 C 高考题型精练 1234567891011123.已知函数f(x)x22x3在闭区间0，m上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为()A.1，)B.0,2 C.(，
8、2D.1,2 高考题型精练 解析 f(x)(x1)22，其对称轴为x1，当x1时，f(x)min2，故m1，又f(0)3，f(2)3，m2.综上可知1m2.123456789101112D高考题型精练 1234567891011124.若方程 x232xm0 在 x1,1上有实根，则 m 的取值范围是()A.m 916B.916m52C.m52D.916m52高考题型精练 123456789101112x1,1.解析 mx232xx342 916，当 x1 时，m 取最大值为52，当 x34时，m 取最小值为 916，916m52.答案 D 5.若f(x)x2ax1有负值，则实数a的取值范围是
9、()A.a2B.2a2或a2D.1a0，则a2或a0，解析 设tf(x)，则方程为t2at0，解得t0或ta，即f(x)0或f(x)a.如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)0的解有两个，故要使方程f2(x)af(x)0恰有5个不同的解，则方程f(x)a的解必有三个，此时0a1.所以a的取值范围是(0,1).高考题型精练 123456789101112答案 A 7.已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，若x1x2，x1x21a，则()A.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 高考题型精练 123456789101112解析 f(x)的对称轴为直线x1
10、，又x1x21a，高考题型精练 123456789101112x1x221a2，0a1.x10，f(x1)f(x2).答案 A 高考题型精练 1234567891011128.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内 高考题型精练 123456789101112高考题型精练 解析 由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数
11、f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案 A 1234567891011129.(2015湖北)a为实数，函数f(x)|x2ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a_时，g(a)的值最小.解析(1)当a0时，f(x)x2，函数f(x)在区间0,1上单调递增，故g(a)f(1)1.(2)当a0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数f(x)在区间0,1上单调递增，故g(a)f(1)1a.高考题型精练 123456789101112高考题型精练 123456789101112(3)当 0a1 时，函数 f(x)的图象如图(2)所示，fa2 a24，f(1)1a，f
12、a2 f(1)a24(1a)a2284.当 0a2 22 时，因为 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)f(1)1a；高考题型精练 123456789101112当 2 22a1 时，因为 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)fa2 a24.(4)当1a2时，函数f(x)的图象如图(3)所示，因为函数 f(x)在区间0，a2 上单调递增，在区间a2，1 上单调递减，故 g(a)fa2 a24.高考题型精练 123456789101112综上，g(a)1a，a2 22，a24，2 22a2，a1，a2，(5)当a2时，函数f(x)的图象如图(4)所示，因为
13、函数f(x)在区间0,1上单调递增，故g(a)f(1)a1.高考题型精练 123456789101112当 ag(2 22)32 2；当 2 22a32 2.综上，当 a2 22 时，g(a)min32 2.答案 2 2210.若关于x的不等式(2x1)2ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_.解析 因为不等式等价于(a4)x24x10，且有4a0，高考题型精练 123456789101112故 0a4，不等式的解集为12 ax12 a，1412 a12，则一定有1,2,3为所求的整数解集.高考题型精练 123456789101112所以 30 时，f(x)在1,1上有零点的条件
14、是 f 12a f10，1 12a0，解得 a52.综上，实数 a 的取值范围为12，.答案 12，12.已知函数f(x)ax2ax和g(x)xa，其中aR，且a0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求OAB的面积S的最大值.解 依题意，f(x)g(x)，即ax2axxa，整理得ax2(a1)xa0，a0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，高考题型精练 1234567891011120，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)0，高考题型精练 1234567891011121a13且 a0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x10，x1x2a1a.设点O到直线g(x)xa的距离为d，高考题型精练 123456789101112则 d|a|2，S12 11|x1x2|a|2 123a22a1123a13243.1a13且 a0，当 a13时，S 取得最大值 33.即OAB 的面积 S 的最大值为 33.