1、5.3.2等比数列的前n项和学 习 任 务核 心 素 养1掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2理解等比数列前n项和的性质(易混点)3会用错位相减法求数列的和(难点)1通过等比数列前n项和公式的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养2借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去问题：如果病毒按照上述方式共传播了30分钟，那么受该病毒感染的计算机共有多少台？提示2162知识点1等比数列的
2、前n项和公式1等比数列求和应注意什么？提示公比q是否等于1(1)q1时，公式Sn与Sn是等价的，利用ana1qn1可以实现它们之间的相互转化当已知a1，q与n时，用Sn较方便；当已知a1，q与an时，用Sn较方便(2)对于等比数列的a1，an，n，q，Sn五个相关量，知道其中任意三个量，都可以利用方程求出其余两个量1已知正项等比数列an中，a11，a516，则数列an的前7项和为()A63B64C127D128C由题意可知，a5a1q4，即q416，又q0，q2S7127，故选C知识点2等比数列前n项和公式的函数特性(1)当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，
3、则上式可写成SnAqnA的形式则数列S1，S2，S3，Sn，的图像是函数yAqxA图像上的一群孤立的点由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数(2)当公比q1时，因为a10，所以Snna1，则数列S1，S2，S3，Sn，的图像是正比例函数ya1x图像上的一群孤立的点2如果数列an的前n项和为SnAqnA(Aq0，q1，nN)，那么这个数列一定是等比数列吗？提示一定理由如下：由于SnAqnA，则当n1时，S1a1A(1q)；当n2时，anSnSn1(AqnA)(Aqn1A)Aqn1(1q)，而当n1时也符合该式故数列a
4、n的通项公式为anAqn1(1q)(nN)，并且q(常数)，则数列an是等比数列，其中首项为a1A(1q)，公比为q由上可知，“数列an是等比数列SnAqnA(Aq0，q1，nN)”可作为判定非常数列an是等比数列的一个依据2等比数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y3x1m的图像上，则m_3点(n，Sn)在函数y3x1m的图像上，Sn3n1m33nm由SnAqnA，比较可得m3知识点3等比数列前n项和的性质设等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质(1)当q1时，；当q1时，(2)SnmSmqmSnSnqnS
5、m(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和若项数为2n，则q；若项数为2n1，则q(4)当q1时，连续m项的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍组成等比数列(公比为qm，m2)(1)当q1且k为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比数列；(2)当q1，或q1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列由(1)(2)可知，当连续m项的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)不为零时，性质(4)才成立拓展：若an是公比为q的等比数列，则：(1)前n项积Tnaq；(2)连续m项的积仍为等比数列，即Tm，是等比数列，公比为qm23已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数
6、，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比q_2法一：设S偶与S奇分别是该等比数列偶数项的和与奇数项的和，则S偶qS奇，q2法二：设该等比数列的项数为2n，易得该等比数列的奇数项和偶数项也分别成等比数列，且公比均为q2，85，170，得，q2 类型1等比数列前n项和公式基本量的运算【例1】(对接教材P37例1)在等比数列an中(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5解(1)法一：设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817法二：S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10，1q
7、20，得，q3，即q，a18a4a1q381，S51解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解2运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元跟进训练1在等比数列an中，其前n项和为Sn(1)S230，S3155，求Sn；(2)已知S41，S817，求an解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn(2)设an的公比为q，由S41，S817知q1，所以得，解得q2，所以或所以an或an 类型2等比数列前n项和的性质及应用【
8、例2】已知在等比数列an中，S1010，S2030，则S30_70设等比数列an的公比为q，S202S10，q1S10S20，q1法一：由等比数列的前n项和公式，得得1q103，故q102S30(1q10q20)10(1222)70法二：由性质得S10，S20S10，S30S20仍成等比数列，则(S20S10)2S10(S30S20)，即(3010)210(S3030)，得S3070法三：由性质得S20S10q10S10，即301010q10，q102，S30S20q20S10304070法四：运用性质得，即，q102又，S3070(变条件)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2
9、，S3n14，则S4n等于()A16B26C30D80C设等比数列的公比为q，且注意到S3n14323Sn，所以q1法一：由已知有Sn2，S3n14，得q2nqn17，即q2nqn60，变形得(qn3)(qn2)0由于数列各项均为正数，所以qn30，qn20，所以qn2，即q故a12(1)，所以S4n30法二：S4nqnSnqnS3n，这个式子表示出了S4n，Sn，S3n之间的关系，要求S4n只需求得qn即可由于S3n(a1a2an)(an1an2a2n)(a2n1a2n2a3n)SnqnSnq2nSnSn(1qnq2n)，所以q2nqn60，注意到an0，所以qn2，所以S4nSnqnS3n
10、221430法三：易得q1，根据性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列由an0得，S2n0，设S2nx(x0)，则2，x2，14x成等比数列，故(x2)22(14x)，解得x6，由S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列，可得4(S4n14)82，解得S4n30法四：(特殊值法)取n1，则a1S12，S314，即q2q60，注意到an0，所以q2，从而S430相比较而言，法二保持了法一的一般性，省去了由qn2开方求出q，再消去q的麻烦，并且在此过程中运用了公式SmnSnqnSmSmqmSn，简化了计算.跟进训练2设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A9B7
11、 C5D4B3，S2 0203S1 010，2又根据等比数列的性质，可知S3 030S2 020，S2 020S1 010，S1 010成等比数列，2，4，7故选B 类型3错位相减法求和1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？提示由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n2在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n
12、项和问题吗？提示在等式Sn121222323n2n，两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法【例3】设数列an的前n项和为Snn2n，数列bn的通项公式为bnxn1(x0)(1)求数列an的通项公式；(2)设cnanbn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn思路点拨由an完成第(1)问；由题设知an为等差数列，bn为等比数列，因此可用错位相减法求
13、Tn解(1)an即an当n1时，an2n也成立，an2n，即数列an的通项公式为an2n(2)由an2n，bnxn1且cnanbn可得cn2nxn1，Tn24x6x28x32nxn1，则xTn2x4x26x38x42nxn，得(1x)Tn22x2x22xn12nxn当x1时，(1x)Tn22nxn，Tn当x1时，Tn24682nn2nTn错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式利用此法时要注意讨
14、论公比q是否等于1的情况跟进训练3_令Sn，则Sn，由得，Sn，得Sn21在公比为整数的等比数列an中，a1a23，a34，则an的前5项和为()A10BC11D12C设公比为q(qZ)，则a1a2a1a1q3，a3a1q24，求解可得q2，a11，则an的前5项和为112已知等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则()A3 B4 C DC易知等比数列an的首项为a1，则3设Sn为等比数列an的前n项和，若2a3a60，则()A1 B1 C2 D2A设数列an的公比为q，由2a3a60，得a3(2q3)0因为a30，所以2q30，则q32，故1q314等比数列an中，公比q2，S544，则a
15、1_4由S544，解得a145在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn5nk，则实数k_1法一：当n1时，a1S15k，当n2时，anSnSn1(5nk)(5n1k)5n5n145n1由题意知an为等比数列，a15k4，k1法二：由题意，an是等比数列，a15k，a2S2S120，a3S3S2100，由aa1a3得100(5k)202，解得k1回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用等比数列前n项和公式解题的基本思路是什么？提示在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”前n项和公式的应用中，注意前
16、n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况2如何利用错位相减法求数列的前n项和？提示错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和设数列an为等差数列，公差为d；数列bn为等比数列，公比为q(q1)；数列anbn的前n项和为Tn则Tn的求解步骤如下(1)列出和式Tna1b1a2b2a3b3anbn(2)两边同乘以公比q：qTna1b1qa2b2qa3b3qanbnqa1b2a2b3a3b4anbn1(3)两式相减(错位相减)并求和：(1q)Tna1b1(
17、a2b2a1b2)(a3b3a2b3)(anbnan1bn)anbn1a1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1danbn1(4)两边同除以(1q)即得数列anbn的前n项和Tn根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的据说，有位宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，
18、他需要得到什么赏赐宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1料麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数， 直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一个就可以得出：122223242632641，直接写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，
19、可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨班达依尔的一笔永远也无法还清的债正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像112一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年(大家可以自己用计算器算一下！)就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他西萨班达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子)