1、32导数的应用(一)1函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_；如果f(x)0，故单调递增区间是(0，)故选A. ()已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解：由函数yf(x)的导函数yf(x)的图象从左到右先增后减，知yf(x)图象切线的斜率对应先增后减故选B. ()若函数f(x)kx-lnx在区间(1，)上单调递增，则实数k的取值范围是()A(-，-2 B(-，-1C类型三导数法研究函数的极值问题()已知函数f(x)-lnx-，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂
2、直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)对f(x)求导得f(x)-，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)-a-2，解得a.(2)由(1)知f(x)-lnx-，则f(x).令f(x)0，解得x-1或x5.因为x-1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)上为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)-ln5.【点拨】找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如yx3)，还要保证该零点为变号零点已知
3、函数f(x)x3cx在x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值解：(1)f(x)x2c，当x1时，f(x)取得极值，则f(1)0，即c0，得c-.故f(x)x3-x.(2)f(x)x2-(x2-1)(x-1)(x1)，令f(x)0，得x-1或1.x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，-1)-1(-1，1)1(1，)f(x)0-0f(x)极大值极小值因此，f(x)的极大值为f(-1)1，极小值为f(1)-1.类型四导数法研究函数的最值问题()已知函数f(x)xlnx.(1)求函数yf(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间(t0)上的最小值解：(1
4、)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1，所以f(1)1，f(1)0，所以所求切线方程为y-01(x-1)，即yx-1.(2)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)-0f(x)单调递减极小值单调递增当t时，在区间上f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tlnt.当0t0，所以f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x时取得最大值，最大值为flna-lnaa-1.因此f2a-2，等价于lnaa-10.令g(a)lnaa-1，则g(a)在(0，)单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此
5、，a的取值范围是(0，1)类型五实际应用问题(优化问题)学习曲线是1936年美国康奈尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中首次发现并提出来的已知某类学习任务的学习曲线为f(t)100%(f(t)为该学习任务掌握的程度，t为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f(2)60%.(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；(2)已知2xxln2对任意x0恒成立，现定义为某类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t(1，2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数对应的取值范围解：(1)因为f(t)100%，且f(2)60%，所以100%60%，解
6、得a4，所以f(t)100%(t0)f(0)100%37.5%，f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数y，则y(t0)，现研究函数g(t)t的单调性由于g(t)(t0)，且2xxln2对任意x0恒成立，所以2t-tln20，则g(t)0恒成立，所以g(t)在(0，)上为增函数，且g(t)g(0)0.所以y(t0)在(0，)上为减函数，而，所以y，故所求学习效率指数的取值范围是.【点拨】解此类应用问题，应以读题、建模、求解、作答这四个步骤为主线，同时还应注意实际问题中函数的定义域某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米
7、，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意200rh160r212000，所以h(300-4r2)，从而V(r)r2h(300r-4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(
8、5，5)时，V(r)0，则()A3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解：由于f(x)xf(x)，则f(3)故选B.7已知x3是函数f(x)alnxx2-10x的一个极值点，则实数a_.解：f(x)2x-10，由f(3)6-100得a12，经检验满足题设条件故填12.8已知圆柱的体积为16 cm3，则当底面半径r_cm时，圆柱的表面积最小解：圆柱的体积为Vr2h16r2h16，圆柱的表面积S2rh2r22r22，由S20，得r2.因此r(0，2)2(2，)S-0S极小值，也是最小值所以当底面半径r2时，圆柱的表面积最小故填2.9已知函数f(x)x3-ax，f(1)0.(1)
9、求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)f(x)3x2-a，由f(1)3-a0，得a3.(2)因为f(x)x3-3x，所以f(x)3x2-3.令f(x)0，得x-1或x1.所以f(x)的单调递增区间是(-，-1)，(1，)，单调递减区间是10已知函数f(x)x2alnx，a0.(1)若x1是函数f(x)的极值点，求实数a的值；(2)讨论f(x)的单调性解：f(x)2x，x0.(1)因为f(1)0，所以2a0，得a-2，经检验，当a-2时，x1是函数f(x)的极值点(2)若a0，则f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增若a0，令f(x)0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调
10、递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增11()已知函数f(x)(1)求f(x)在(-，1)上的极大值点和极小值；(2)求f(x)在(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f(x)-3x22x-x(3x-2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，0)0f(x)-00-f(x)极小值极大值故函数f(x)的极大值点为x；当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0.(2)当-1x1时，由(1)知，函数f(x)在和上单调递减，在上单调递增因为f(-1)2，f，所以f(x)在上单调递增，则f(x)在上的最大值为f(e)a.综上所述，当a2时
11、，f(x)在上的最大值为a；当a2时，f(x)在上的最大值为2. ()某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB规划建成一个矩形的高科技工业园区已知ABBC，OABC，ABBC2AO4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点P落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)解：以O为原点，AO所在直线为x轴建立直角坐标系(如图)依题意可设抛物线的方程为x22py，且C(2，4)所以222p4，所以p.故曲线段OC的方程为yx2(0x2)设P(x，x2)(0x2)，则|PM|2x，|PN|4-x2.所以工业园区的用地面积S|PM|PN|(2x)(4-x2)-x3-2x24x8.所以S-3x2-4x4，令S0x1，x2-2(舍去)，当x时，S0，S是x的增函数；当x时，S0，S是x的减函数所以x时，S取到最大值，此时|PM|2x，|PN|4-x2，Smax9.5(km2)答：把工业园区规划成长(PN)为 km，宽(PM)为 km时，矩形工业园区的用地面积最大，最大用地面积约为9.5 km2.