1、5.2等差数列5.2.1等差数列第1课时等差数列的定义学 习 任 务核 心 素 养1理解等差数列的概念(难点)2掌握等差数列的通项公式及运用(重点、难点)3掌握等差数列的判定方法(重点)1借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养2通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录我国古代天文学和数学著作周牌算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器
2、，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始己知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则晷长为七尺五寸时，你知道对应的节气是什么吗？提示春分、秋分知识点1等差数列的概念一般地，如果数列an从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an1and恒成立，则称an为等差数列，其中d称为等差数列的公差拓展：等差数列定义的理解(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个
3、常数，否则这个数列不能称为等差数列1下列数列中不是等差数列的为()A6，6，6，6，6B2，1，0，1，2C5，8，11，14D0，1，3，6，10DA中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；B中给出的数列是等差数列，公差为1；C中给出的数列是等差数列，公差为3；D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列知识点2等差数列的通项公式及其推广若等差数列an的首项为a1，公差为d，则其通项公式为ana1(n1)d该式可推广为anam(nm)d(其中n，mN)等差数列的通项公式ana1(n1)d是什么函数模型？提示d0时，一次函数；d0时，常数函数拓展：等差数列
4、与一次函数的异同点等差数列一次函数不同点解析式ana1(n1)d，nNf(x)kxb(k0)，xR公差、斜率公差d，nm斜率k，x1x2定义域NR图像位于同一直线上的一系列孤立的点一条直线相同点等差数列的通项公式(d0)与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式2已知等差数列an中，首项a14，公差d2，则通项公式an_62na14，d2，an4(n1)(2)62n知识点3等差数列的单调性等差数列an中，若公差d0，则数列an为递增数列；若公差d0，则数列an为递减数列；若公差d0，则数列an为常数列，不增也不减3已知点(1，5)，(2，3)是等差数列an图像上的两点，则数列an为()A递增数列
5、B递减数列C常数列D无法确定B等差数列an的图像所在直线的斜率k20，故数列an是递减数列 类型1等差数列的判定【例1】已知等差数列an的首项为a1，公差为d，在数列bn中，bn3an4，试判断bn是不是等差数列思路点拨可以利用a1和d写出bn的通项公式解由题意可知ana1(n1)d(a1，d为常数)，则bn3an43a1(n1)d43a13(n1)d43dn3a13d4由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d0时)，故bn是等差数列判断数列an是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证an1and(nN)是否成立.具体步骤为：(1)作an1an，并对上式进行变形；(2)若an1an
6、是常数，则数列an是等差数列，否则数列an不是等差数列.跟进训练1数列an的通项公式an43n，则此数列()A是公差为4的等差数列B是公差为3的等差数列C是公差为3的等差数列D是首项为4的等差数列Can1an43(n1)(43n)3an是公差为3的等差数列2已知数列an满足a12，an1，试证明数列是等差数列证明an1，即2，是首项为，公差d2的等差数列 类型2等差数列的通项公式1若an是等差数列，试用am，an表示公差d，其中nm提示d2若数列an的通项公式anknb，则该数列是等差数列吗？提示是因为an1ank(n1)knk，故an是等差数列【例2】(对接教材P19例5)(1)在等差数列a
7、n中，已知a47，a1025，求通项公式an；(2)已知数列an为等差数列，a3，a7，求a15的值思路点拨设出基本量a1，d利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式anam(nm)d求解解(1)法一：a47，a1025，则得an2(n1)33n5，通项公式an3n5(nN)法二：a47，a1025，a10a46d18，d3，ana4(n4)d3n5(nN)(2)法一：由得解得a1，da15a1(151)d14法二：由a7a3(73)d，即4d，解得da15a3(153)d121应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定
8、通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用anam(nm)d较为简捷跟进训练3若xy，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于_数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，1，即，故4在等差数列an中，已知a410，a1470，则an_6n14法一：设公差为d，则解得所以ana1(n1)d6n14法二：设公差为d，则d6，ana4(n4)d106(n4)6n141已知等差数列an中，anan12(n2)，且a11，则这个数列的通项公式为()Aan2n1Ban2n1 Cann1Dann1Aana1(n1)d1
9、2(n1)2n12已知等差数列an的通项公式an32n(nN)，则它的公差d为()A2B3C2D3Cdan1an32(n1)(32n)2，故选C3若数列an满足a119，an1an3(nN*)，则当am2 021时，m的值是 ()A679 B680 C681 D690Ca119，an1an3(nN*)，an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n当am2 021时，m6814在等差数列an中，a22，a34，则a10_18公差d2，a10a28d282185an是首项a12，公差d3的等差数列，若an2 021，则n_674a12，d3，an2(n1)33n1由3n1
10、2 021得n674回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断一个数列是不是等差数列的常用方法有哪些？提示判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：(1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2求等差数列通项公式的一般思路是什么？提示方程思想：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式事实上，已知等差数列中的两项时，可利用anam(nm)d求出公差d，这样就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1(n1)d的形式