1、第2讲两条直线的位置关系考纲解读1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，根据两条直线的斜率能判断两条直线的平行或垂直(重点)2能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲内容很少独立命题预测2021年高考会与其他知识结合考查两直线的位置关系、求直线方程(如与导数、圆锥曲线结合)、面积等问题题型为客观题，试题难度一般不大，属中档题型.1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在2三种距离三种距
2、离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB| 点到直线的距离P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为dd两平行线间的距离直线AxByC10到直线AxByC20的距离为dd3常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.1概念辨析(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜
3、率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)若直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行，则m的值为()A7 B0或7 C0 D4答案B解析直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行，m(m1)3m2，m0或7，经检验，都符合题意故选B.(2)原点到直线x2y50的距离是_答案解析原点到直线x2y50的距离d.(3)经过直线l1：xy50，l2：xy10的交
4、点且垂直于直线2xy30的直线方程为_答案x2y10解析联立直线l1与l2的方程，得解得所以直线l1与l2的交点坐标为(3,2)，设所求直线的方程为x2yC0，将点(3,2)的坐标代入直线方程得322C0，解得C1，因此，所求的直线方程为x2y10.(4)已知点P(1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为_答案xy40解析直线PQ的斜率k11，直线l的斜率k21，又线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线l的方程为xy40.题型一两条直线的位置关系1若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_答案9解析由得点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.
5、2已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知，得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，
6、且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)注意：在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解
7、答. 1(2019淮南模拟)设R，则“3”是“直线2x(1)y1与直线6x(1)y4平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析当3时，两条直线的方程分别为6x4y10,3x2y20，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2(1)6(1)，所以3或1，经检验，两者均符合，综上，“3”是“直线2x(1)y1与直线6x(1)y4平行”的充分不必要条件2(2019湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(4,7)，C(6，5)，BC边所在直线过点P(8，1)求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程解(1)kBC2，AD
8、BC，kAD2.AD边所在直线的方程为y72(x4)，即2xy150.(2)kAC.菱形的对角线互相垂直，BDAC，kBD.AC的中点(1,1)，也是BD的中点，对角线BD所在直线的方程为y1(x1)，即5x6y10.题型二距离问题 1若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A. B4 C. D2答案C解析若l1l2，则13a(a2)0，解得a1或3.经检验a3时，两条直线重合，舍去所以a1，此时有l1：xy60，l2：3x3y20，即xy0，所以l1与l2之间的距离d.2(2019重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距
9、离为2，则直线l的方程为()A2xy20B2xy20或2xy180C2xy180D2xy20或2xy180答案B解析y，当x2时，y2，因此kl2，则设直线l方程为y2xb，即2xyb0，由题意知2，解得b18或b2，所以直线l的方程为2xy180或2xy20.故选B.3已知点A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是_答案解析由题意，得|AB|，所以当a时，|AB|取得最小值距离问题的常见题型及解题策略(1)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题如举例说明1.(2)解决与点到直线
10、的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定系数法(如举例说明2)，若待定系数是斜率，必须讨论斜率是否存在(3)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等 1若点P在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2) B(2,1)C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)答案C解析设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即4x62，解得x1或x2，故P(1,2)或(2，1)2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D
11、.答案C解析易知直线3x4y120与6x8y50平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x8y50可化为3x4y0，则这两条平行线间的距离是.题型三对称问题1已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程
12、；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，再由已知，得解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.解法二：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线
13、l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.解法三：ll，设l的方程为2x3yc0(c1)，由点到直线的距离公式得，解得c9或c1(舍去)，l的方程为2x3y90.1中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点的对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称问题的主要求解方法在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程如举例说明2(3)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2
14、(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)如举例说明1,2(1)(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线解(1)解法一：设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于
15、直线l的对称点P的坐标为(2,7)解法二：设点P(4,5)关于l的对称点为M(m，n)PM与l垂直，且PM的中点在直线l上，解得点P(4,5)关于l的对称点为(2,7)(2)解法一：用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为20，化简得7xy220.解法二：设直线xy20关于直线l对称的直线为l.解方程组得即两直线的交点为，则点在直线l上取直线xy20上一点Q(2,0)，则点Q(2,0)关于直线l的对称点Q(a，b)在l上QQ与l垂直，且QQ的中点在l上解得Q，l的斜率为7，直线l的方程为y7，即7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)，设关于(1,2)的对称点M
16、(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.组基础关1已知过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为()A1 B2 C2 D1答案B解析由题意得，kAB，kCD.由于ABCD，即kABkCD，所以，所以m2.2若直线l1：(m2)xy10与直线l2：3xmy0互相平行，则m的值等于()A0或1或3 B0或3C0或1 D1或3答案D解析当m0时，两条直线方程分别化为2xy10,3x0，此时两条直线不平行；当m0时，由于l1l2，则，解得m1或3，经验证满足条件综
17、上，m1或3.故选D.3过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0答案D解析解法一：解方程组可得两条直线的交点坐标为，又因为所求直线过原点，所以其斜率为，方程为yx，即3x19y0.解法二：根据题意可设所求直线方程为x3y4(2xy5)0，因为此直线过原点，所以450，.所以x3y4(2xy5)0，整理得3x19y0.4(2019南昌检测)直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程是()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50答案A解析在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称
18、点P(x，y)在已知的直线3x4y50上，所以3x4(y)50，即3x4y50.5若直线l经过点(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为()A3x4y50Bx1C3x4y50或y1D3x4y50或x1答案D解析当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，满足原点到直线l的距离为1，x1.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，由原点到直线l的距离为1，1，解得k.从而得直线l的方程为y2(x1)，即3x4y50.综上可得，直线l的方程为x1或3x4y50.6(2019葫芦岛模拟)当点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大时，m的值为()A3 B0 C1
19、D1答案C解析直线mxy12m0可化为ym(x2)1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故mkPQmm11，m1.7已知直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，则直线l的一般式方程为()A3xy50 B3xy10Cx3y70 Dx3y50答案B解析设l与l1的交点坐标为A(a，y1)，l与l2的交点坐标为B(b，y2)，y14a3，y21，由中点坐标公式得1，2，即ab2，(4a3)4，解得a2，b0，A(2,5)，B(0，1)，l的方程为3xy10.8点(2,1)关于直线xy10的对称点为_答案(0,3)解析设对称点为(
20、x0，y0)，则解得故所求对称点为(0,3)9若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则实数c的值是_答案2或6解析直线6xayc0的方程可化为3xy0，由题意得2且1，解得a4，c2.根据两平行直线的距离为，得，所以12，解得c2或6.10以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的ABC，其边AB上的高所在的直线方程是_答案2xy140解析由A，B两点得kAB，则边AB上的高所在直线的斜率为2，故所求直线方程是y42(x5)，即2xy140.组能力关1已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10垂直，则ab的最小值为()A1 B2 C2 D2答案B解析由已知两直线
21、垂直，得(b21)ab20，即ab2b21，又b0，abb.由基本不等式得b2 2，当且仅当b1时等号成立，(ab)min2.故选B.2两条平行线l1，l2分别过点P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，) B(0,5C(，) D(0，答案D解析当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，l1，l2之间距离的取值范围是(0，故选D.3已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.答案D解析设l1：2x3y10，l2：4x3y5
22、0，l3：mxy10，易知l1与l2交于点A，l3过定点B(0，1)因为l1，l2，l3不能构成三角形，所以l1l3或l2l3或l3过点A.当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l3过点A时，m，所以实数m的取值集合为.故选D.4(2019保定模拟)设点P为直线l：xy40上的动点，点A(2,0)，B(2,0)，则|PA|PB|的最小值为()A2 B. C2 D.答案A解析依据题意作出图象如下，设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为，且|PB|PB1|，由对称性，得解得a4，b2，所以B1(4,2)，因为|PA|PB|PA|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时
23、，|PA|PB|最小，此时最小值为|AB1|2.5已知曲线y在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为，则直线l的方程为_答案4xy90或4xy250解析y，所以曲线y在点P(1,4)处的切线的斜率k4，则切线方程为y44(x1)，即4xy80.所以可设直线l的方程为4xyC0，由，得C9 或C25，所以所求直线方程为4xy90或4xy250.6在ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，则直线BC的方程为_答案6x5y90解析由AC边上的高BH所在直线方程为x2y50可以知道kAC2，又A(5,1)，AC边所
24、在直线方程为2xy110，联立直线AC与直线CM方程得解得所以顶点C的坐标为C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为，由M在直线2xy50上，得2x0y010，B在直线x2y50上，得x02y050，联立解得所以顶点B的坐标为(1，3)于是直线BC的方程为6x5y90.7已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直线l恒过定点(2,3)(2)由(1)知直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又因为直线PA的斜率kPA，所以直线l的斜率kl5.故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.