1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y 的取值构成的_，叫做二元一次不等式(组)的 解，所有这样的_构成的集合称为二元一次不 等式(组)的解集.2.二元一次不等式所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式_在平面直角坐标系中 表示_某一侧所有点组成的_，把直线画成 _，以表示区域不包括边界.当在坐标系中画不等式有序数对(x，y)有序数对(x，y)Ax+By+C0 Ax+By+C=0 虚线 平面区域 Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，把边界 画成_.(2)二元一次不等式所表示的平面区域可用_进行验 证
2、，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的 不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面 区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.通常情况下，只要原点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验.实线 特殊点法 3.线性规划的有关概念名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的_ 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的_ 目标函数 关于x,y的函数_，如z=x+2y 线性目标函数 关于x,y的_解析式 一次 解析式 不等式(组)不等式(组)名称 意义 可行解 满足线性约束条件的解_ 可行域 所有_组成的集合 最优解 使目标函数取得_的可 行解 线性规划问题 在线性
3、约束条件下求线性目标函数的_或_问题 最大值或最小值 最大值 可行解(x,y)最小值 4.解线性规划问题的一般步骤(1)在平面直角坐标系中画出_.(2)分析_的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定_.(4)求出_.5.常见的三种目标函数(1)z=ax+by.(2)z=(x-a)2+(y-b)2.(3)z=可行域 目标函数 最优解 最值或范围 yb.xa判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(4)线
4、性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(5)目标函数z=ax+by(b0)中，z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()(6)目标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(x,y)与(a,b)的距离.()【解析】(1)错误.不等式Ax+By+C0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方，这要取决于A与B的符号.(2)错误.不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它就不表示任何区域.(3)正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时，最优解可能有无数多个.(4)正确.线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共点的情况下，分析其在y
5、轴上的截距的取值范围，因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(5)错误.由ax+by-z=0可得 ，所以 才是该直线 在y轴上的截距.(6)错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)a1yxzbb 1 zb1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内，则m的取值范围是()(A)m1 (B)m1(C)m1【解析】选D.依题意有2m+3-50，解得m1.2.若x,y满足约束条件 则z=3x-y的最小值是()(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5 xy0 xy400 x4 ，【解析】选C.z=3x-yy=3x
6、-z,作出可行域，由图可知过A点时 z取最小值，把点A(0,4)代入，可得z=-4.3.已知点P(x,y)的坐标满足条件 则x2+y2的最大值 为()(A)(B)(C)8 (D)10【解析】选D.画出不等式组对应的可行域 如图所示：易得A(1，1)，OA ，B(2，2)，OB=，C(1，3)，OC=，故|OP|的最大值为 ，即x2+y2的最大值等于10，故选D.xy4,yx,x1.102 22 2210104.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只
7、运一次，则该厂所花的最少运输费用为()(A)2 000元 (B)2 200元(C)2 400元 (D)2 800元【解析】选B.设甲型货车使用x辆，乙型货车使用y辆.则 所花运费为z=400 x+300y.画出可行域(如图)，由图可知当直线z=400 x+300y经过点A(4,2)时，z取最 小值，最小值为zmin=2 200，故选B.0 x40y820 x10y100，5.不等式组 表示的平面区域 的面积为_.【解析】该不等式组表示的平面区域是 一个直角三角形，其面积等于 36=9.答案:9 2xy0,x3,y0 12考向1 平面区域的相关问题【典例1】(1)(2013太原模拟)已知不等式组
8、 表示的平面区域的面积是 ，则a等于()(A)(B)3 (C)(D)2(2)(2012福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束 条件 则实数m的最大值为()(A)(B)1 (C)(D)2 3xy0(a0)xay2，32xy30 x2y30 xm ，321232【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域，由于a0，其形状基本确定，是一个三角形，然后根据三角形的面积公式求解.(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.【规范解答】(1)选A.画出平面区域，可知该区域是一个三角 形，其面积等于 所以h=.解方
9、程组 得 所以 ，解得a=，选A.132h22，323xyxay2，2y3a3，2323a3=3(2)选B如图，当y=2x经过且只经过x+y-3=0 和x=m的交点时，即三条曲线有 唯一公共点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x+y-3=0 上，由选项知，m的最大值为1【互动探究】本例题(2)中，若约束条件中的m=0，那么当函数y=2x+h的图象上存在点满足约束条件时，实数h的取值范围是_.【解析】画出可行域，由图形可知，当函数y=2x+h的图象经过点(0,3)和点(3,0)时，和区域只有一个公共点，此时h的值分别等于2和-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数h的取值范围应
10、是-8h2.答案:-8h2【拓展提升】平面区域问题的求解思路 求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等)，与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解.【变式备选】若不等式组 表示的平面区域为M，当 抛物线y2=2px(p0)与平面区域M有公共点时，实数p的取值范 围是()(A)(0,2 (B),+)(C),+)(D),2 x1y1xy30 ，121414【解析】选D.作出平面区域(如图)，可以求得A(1,2),B(2,1)，代入抛物 线方程可得p=2,p=，所以
11、p ,2.1414考向2 线性规划的相关问题【典例2】(1)(2012辽宁高考)设变量x，y满足 则2x+3y的最大值为()(A)20 (B)35 (C)45 (D)55(2)(2013厦门模拟)设变量x,y满足约束条件：则 的最大值为()(A)(B)(C)1 (D)不存在 xy100 xy200y15 ，yx1yx10y1 ，yzx21214(3)已知实数x,y满足 目标函数z=ax-y的最小值和 最大值分别为-2和2，则a的值为_【思路点拨】(1)典型的线性规划问题，作出可行域，画出直 线2x+3y=0，通过截距，观察确定最优解.(2)非线性目标函数，借助斜率模型进行求解.(3)线性规划逆
12、向性问题，可行域已经确定，可对目标函数中 的参数a进行分类讨论，确定最优解，从而求出a的值.x2y20yx，【规范解答】(1)选D.画出线性约束条件表示的可行域(如图中 的阴影部分)，令2x+3y=z，则 由图形可知，当直 线 经过点A(5,15)时，截距最大，z取到最大值，且 zmax=25+315=55.2zyx33 ，2zyx33(2)选B.画出可行域(如图)，又 表示(x,y)与定点 P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时 取到最大值 .yzx2yzx212(3)画出可行域(如图所示).由z=ax-y得y=ax-z，显然当a=0 时，z的最大值和最小值分别为0和-
13、2，不合题意.若a0，则z=ax-y在A(2,2)处取得最大值2，在B()处取得最小值-2，因此有 解得a=2，符合题意；若a 时，由图形可知，目标 函数在点A(2,0)处取得最小值，因此-2=0-2m，解得m=1.x0y0 x2y2 ，x0y0 x2y2 ，x0y0 x2y2 ，x0y0 x2y2,，12(2)当0m 时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得最 小值，因此-2=-1-m0,m无解.(3)当m-时，由图形可知，目标函数在点C(-2,0)处取得最 小值，因此-2=0+2m，解得m=-1.(4)当-m0时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得最 小值，因此-2=-1-m
14、0，m无解.综上，实数m的值等于1或-1.答案:1或-1 121212【思考点评】1.含绝对值不等式表示区域的画法 含有绝对值的不等式所表示的平面区域，应该根据变量的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域.2.正确运用分类讨论的方法 本题是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在目标函数中含有参数时，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行分类讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而
15、得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解.1.(2012广东高考)已知变量x，y满足约束条件 则z=3x+y的最大值为()(A)12 (B)11 (C)3 (D)-1 y2xy1xy1 ，【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y经过点B(3，2)时，z取得最大值，最大值为11.2.(2013郑州模拟)如果不等式组 表示的平面区 域是一个直角三角形，则该三角形的面积为()(A)或 (B)或 (C)或 (D)或 x0,y2x,kxy10 12141515121
16、31412【解析】选C.有两种情形：(1)直角由y=2x与kx-y+1=0形成，则k=-，三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，()，面 积为 ；(2)直角由x=0与kx-y+1=0形成，则k=0，三角形的三 个顶点为(0，0)，(0，1)，(,1)，面积为 .122 4,5 51512143.(2013泰安模拟)已知点M(x,y)满足 若ax+y的最小值为3，则a的值为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 x1,xy102xy20.,【解析】选C.由各选项知a取正值，设ax+y=z，结合图形易得当直线y=-ax+z过点(1,0)时，ax+y取得最小值，故a=3，选C.4.(2013
17、嘉兴模拟)设x,y满足约束条件 则 的最大值()(A)5 (B)6 (C)8 (D)10 x0,yx,4x3y12,2y2x1【解析】选D.画出可行域(如图)，表示可行域中 的点(x,y)与点M(-1,-1)连线斜率的2倍，由图形可知，当可行 域中的点取在A(0,4)时，连线斜率最大，为 故 的最大值等于10.2y2y 12x1x141501 ，2y2x15.(2012江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为
18、()(A)50,0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元【解析】选B.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩,总利 润为z万元，则目标函数为 z=(0.554x-1.2x)+(0.36y-0.9y)=x+0.9y.线性约束条件为 即 xy50,1.2x0.9y54,x0,y0.xy50,4x3y180,x0,y0.作出可行域如图所示，易求得点A(0，50)，B(30，20)，C(0，45).平移直线z=x+0.9y，可知当直线z=x+0.9y经过点B(30,20),即x
19、=30,y=20时，z取得最大值，且zmax=48(万元).故选B.1.若x,y满足约束条件 且z=log3(2x+y)，则z()(A)既有最大值也有最小值(B)有最大值无最小值(C)有最小值无最大值(D)既无最大值也无最小值 yxxy1y1 ，【解析】选B.画出可行域(如图)，令u=2x+y，则y=-2x+u，由图形可知，当直线y=-2x+u经过点A(2,-1)和点B(-1,-1)时，u分别取得最大值3和最小值-3，而z=log3(2x+y)，故z只有最大值，没有最小值.2.若不等式组 表示的平面区域的面积为5，且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点，则m的最大值是()(A)(B)(C)0 (D)x2y0,2xy0,(a0)xa 344313【解析】选A.画出可行域(如图)，可求得A(a,2a)，B(a,)，三角 形区域的面积为 a 所 以 解得a=2，这时 A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1)，它经过定点P(-1,0)，斜率 为m，由图形知，当直线经过点A时，斜率m取最大值，且 故m的最大值是 .a215aa522 ，AP404k213，435a2，12
