1、大题考法专训（六） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题A级中档题保分练1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，上顶点M到直线xy40的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(4，2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值解：(1)由题意可得，解得所以椭圆C的方程为1.(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y2k(x4)，k0且k1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0，则x1x2，x1x2，因为kMAkMB，所以kMAkMB2k(4k4)2k4(k1)2k(2k
2、1)1(为定值)2(2019济南模拟)已知抛物线C1：y22px(p0)与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.(1)求抛物线C1的方程；(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，所以p2，所以抛物线C1的方程为y24x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，因为点P与点M关于x轴对称，所以y3y1，设直线PQ的方程为xty2，代入y24x得，y24ty80，所以y1y28，设直线MQ的方程为
3、xmyn，代入y24x得，y24my4n0，所以y2y34n，因为y3y1，所以y2(y1)y1y24n8，即n2，所以直线MQ的方程为xmy2，必过定点(2,0)3已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知，得解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，联立消去y并整理得，(
4、34k2)x216kx40，由0，解得k.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则y1kx12，y2kx22，x1x2.假设存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形，则PGPH(x1x22m，k(x1x2)4)，GH(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)，(PGPH)GH0，即(1k2)(x1x2)4k2m0，所以(1k2)4k2m0，解得m.因为k，所以m0，当且仅当4k时等号成立，故存在满足题意的点P，且m的取值范围是.B级拔高题满分练1(2019开封模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为
5、1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点解：(1)由题意得a21，a，又bc，a2b2c2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)得M(0,1)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，得x01.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得(12k2)x24kmx2m220，则8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.由k1k22，得2，即2，(22k)x1x2(m1)(x1x2
6、)，(22k)(2m22)(m1)(4km)，由m1，得(1k)(m1)km，mk1，即ykxmkxk1k(x1)1，故直线AB过定点(1，1)，经检验，当k0或k2时，直线AB与椭圆C有两个交点，满足题意综上所述，直线AB过定点(1，1)2设椭圆C：1(ab0)的离心率为，圆O：x2y22与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为，知bc，ab，则椭圆C的的方程为1.易求得A
7、(，0)，则点(，)在椭圆上，所以1，解得所以椭圆C的方程为1.(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x，由(1)知，M(，)，N(，)，(，)，(，)，0，OMON.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，即m22(k21)联立消去y，得(12k2)x24kmx2m260，则0，x1x2，x1x2，(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm20，OMON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM
8、ON，在RtOMN中，由OMPNOP，可得|PM|PN|OP|22为定值3已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0，且3t3.由PMNQ，得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.(也可由PMNQ，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D也为线段PQ的中点，所以y0，可得y4)又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1,1矛盾因此不存在满足条件的直线