1、广西南宁市第三中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、单选题（每小题5分，共60分）1已知集合，集合，则（）A BCD 2设，则( )AB C D3下列叙述中正确的是( )A对 B是一条直线，是两个不同的平面，若，则 C若，则“”的充要条件是“”D命题“对，”的否定是“，使” 4已知，则的值为（）A B CD5用数学归纳法证明 ，从到，不等式左边需添加的项是（ ）ABCD6由曲线，直线及轴围成的图形的面积为A B 4 C D 67已知，则下列各式中正确的是（）AB1C2 D18某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一
2、种颜色的花，则共有( )种不同的种花方法A24B36 C48 D729医学家们为了揭示药物在人体内吸收排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：)经测试发现，当时，则该药物的消除速率k的值约为()（）ABCD10已知双曲线左右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线 的于，两点，若的周长为25，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD11已知，则，的大小关系为（）A B C D12已知函数，若，使成立，则 的取值范围为（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13设实数满足
3、约束条件，则的最大值为_14已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_15定义在R上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为_16在三棱锥中，平面，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为 。三、解答题（共70分）17（本小题满分10分）某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：10，20），20，30），30，40），40，50），50，60），60，70），70，80后得到如图所示的频率分布直方图（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于
4、60岁的概率；（）已知该小区年龄在10，80内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数18（本小题满分12分）已知等差数列满足（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为若，(为偶数)，求的值19（本小题满分12分）已知是的内角的对边，且（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形， 底面，是的中点（1）求证:平面平面;（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值21（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上存在两点，使得的斜率与的斜率之
5、和为，直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由22（本小题满分12分）已知函数（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明南宁三中20202021学年度下学期高二月考（一）理科数学试题答案一、选择题1D 2C 3B 4D 5B 6C 7B 8D 9A 10A 11C 12A5B 解：时，左边为，时，左边为，所以左边需添加的项是 ，选B6C 解：得（4，2），由图知，由曲线，直线及轴围成的图形的面积为=，故选C8D 解：区域2，4同色时，有种，区域2，4不同色时，有种，则一共有72种着色方法。10A 设，因为垂直x轴，所以
6、，又A、B在双曲线C上，所以，又，所以，所以，所以的周长为= ，所以或（舍）所以双曲线的渐近线方程为，即11C 因为，可得，且，又由 ，所以又因为，所以12A 当时，函数，所以函数的值域为，当时，函数，可得，当时，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，因为对，使成立，转化为值域包含的值域，所以，即，解得，所以；当时，令，解得，当时，单调递增，此时值域为，满足对，使成立，综上所述，实数的取值范围为二、填空题1315 1415令，则，所以在R上单调递增因为，所以不等式，可变形得，即，所以，解得16 平面，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球直径为，所以，设球心为点，则为的中点，连接，、分
7、别为、的中点，则，且，设过点的平面为，设球心到平面的距离为当时，；当不与平面垂直时，综上，设过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径为，则，因此，所求截面圆的面积的最小值为三、解答题17解: （1）平均数前三组的频率之和为0.150.20.30.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，则（x30）0.030.150.20.5，解得x35，即中位数为35（2）（）样本中，年龄在50，70）的人共有400.156人，其中年龄在50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在60，70）的有2人，设为x，y则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，
8、y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率（）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1（1810）0.0150.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为20000.88176018（1）设等差数列的公差为d，因为，所以即解得，所以经检验，符合题设，所以数列的通项公式为（2）由（1）得，
9、所以，因为，所以，即因为为偶数，所以19（1），解得或（舍去）则（2），由余弦定理得，由正弦定理得外接圆直径，所以20证：（）平面平面因为，所以，所以，所以，又，所以平面因为平面，所以平面平面（）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则设，则取，则为面法向量设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则于是设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为21解：（1）由题意知，焦点为，故，故，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设方程为代入椭圆方程消去并整理，得（*），设点，则，设直线的斜率与的斜率分别为，根据，所以将代入，整理化简得，即，因为不在直线上，所以，所以，要使（*）方程判别式，即得，于是的方程为，所以直线过定点当直线的斜率不存在时，可得，则由，又联立方程可得，又，矛盾，舍去综上所述，直线过定点22解：（1），函数在上单调递增，在恒成立，即对恒成立，对恒成立，即，令，则，在上单调递减，在上的最大值为的取值范围是（2）当时，方程，令，则，当时，故单调递减，当时，故单调递增，若方程有两个不等实根，则有，即，当时，令，则，单调递增，原方程有两个不等实根，实数的取值范围是不妨设，则，令，则，在上单调递增，当时，即，