1、第二章 函数的概念与基本初等函数第一节函数及其表示本节主要包括3个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；3.分段函数.突破点(一)函数的定义域基础联通抓主干知识的“源”与“流”1函数与映射的概念函数 映射 两集合A，B 设A，B是两个_ 设A，B是两个_ 对应关系f：AB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个数x，在集合B中都有_ _的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个元素x，在集合B中都有_的元素y与之对应 名称 称_为从集合A到集合B的一个函数 称对应_为从集合A到集合B的一个映射 记法 yf(x)，xA 对应f：AB 非空的数
2、集非空的集合任意任意唯一确定唯一确定f：ABf：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，_叫做函数的定义域；与x的值相对应的_叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的_(2)函数的三要素：_、_和_(3)相等函数：如果两个函数的_和_完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据x的取值范围Ay值子集定义域值域对应关系定义域对应关系考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二
3、次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)(7)ytan x的定义域为 x xk2，kZ.例1 yx12x log2(4x2)的定义域是()A(2,0)(1,2)B(2,0(1,2)C(2,0)1,2)D2,01,2解析 要使函数有意义，必须x12x 0，x0，4x20，x(2,0)1,2)即函数的定义域是(2,0)1,2)答案 C易错提醒(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是
4、各个基本初等函数定义域的交集(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域例2 若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f2xx1的定义域为_解析 由题意得，x10，02x2，解得0 x1，即g(x)的定义域是0,1)答案 0,1)易错提醒函数fg(x)的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围
5、已知函数定义域求参数例3(2017杭州模拟)若函数f(x)mx2mx1 的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A0,4)B(0,4)C4，)D0,4解析 由题意可得mx2mx10恒成立当m0时，10恒成立；当m0时，则m0，m24m0，解得00，解得0 x2，故其定义域是0,2)答案：B 能力练通抓应用体验的“得”与“失”2(2017青岛模拟)函数 y1x22x23x2的定义域为()A(，1 B1,1C1,2)(2，)D.1，12 12，1解析：由题意得1x20，2x23x20，解得1x1，x2且x12，即1x1且x12，所以函数的定义域为1，12 12，1.故选D.答案：D考点一3函数
6、 f(x)1|x1|ax1(a0 且 a1)的定义域为_解析：由题意得1|x1|0，ax10，解得0 x2，x0，即0 x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,2考点一4考点二已知函数yf(x21)的定义域为 3，3，则函数yf(x)的定义域为_解析：yf(x21)的定义域为3，3 ，x3，3，x211,2，yf(x)的定义域为1,2答案：1,25考点三若函数f(x)ax2abxb的定义域为x|1x2，则ab的值为_解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以a0)答案：23 x13(x0)2函数f(x)满足2f(x)f(x)2x
7、，则f(x)_.解析：由题意知2fxfx2x，2fxfx2x，解得f(x)2x.答案：2x3已知f(x1)x2 x，求f(x)的解析式解：设t x1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.4已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以2abb1，ab1，解得ab12.所以f(x)12x212x，xR
8、.5已知fx1x x2 1x2，求f(x)的解析式解：由于 fx1x x2 1x2x1x22，所以 f(x)x22，x2 或 x2，故 f(x)的解析式是 f(x)x22，x2 或 x2.突破点(三)分段函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数2分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集对应关系考点贯通抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值例 1(1)设 f(x)1 x，x0，2x，x0，则 f(
9、f(2)()A1 B.14C.12D.32 解析 因为 f(2)2214，所以 f(f(2)f14 11412，故选 C.答案 C(2)(2017张掖高三模拟)已知函数 f(x)12x，x4，fx1，x4，则f(1log25)的值为()A.14B.1221log 5C.12D.120解析 因为 2log253，所以 31log254，则 42log250，x2，x0，若f(4)2f(a)，则实数 a 的值为()A1 或 2 B2C1 D2解析 f(4)log242，因而 2f(a)2，即 f(a)1，当 a0时，f(a)log2a1，因而 a2，当 a0 时，f(a)a21，因而a1，故选 A
10、.答案 A解析 当 x1 时，由 ex12 得 x1ln 2，x1；当 x1时，由 x132 得 x8，1x8.综上，符合题意的 x 的取值范围是 x8.答案(，8(2)设函数 f(x)ex1，x0，则 f(f(1)()A2 B1 C.14D.12解析：由题意得f(1)12112，则f(f(1)f12 12214.答案：C 考点一2已知 f(x)3sin x，x0，fx11，x0，则 f23 的值为()A.12 B12C1 D1解析：f23 f13 1 3sin3 112.答案：B考点一3已知 f(x)log3x，x0，axb，x0，且 f(0)2，f(1)3，则 f(f(3)()A2 B2
11、C3 D3解析：由题意得f(0)a0b1b2，解得b1.f(1)a1ba113，解得a12.则f(x)log3x，x0，12x1，x0，故f(3)12319，从而f(f(3)f(9)log392.答案：B考点一4设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B0,1C.23，D1，)解析：由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a23，23a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a23，故选C.答案：C考点二5已知函数 f(x)2x1，x0，3x2，x0，且 f(x0)3，则实数 x0 的值为_解析：由条件
12、可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x00时，f(x0)3x 20 3，所以x01.所以实数x0的值为1或1.答案：1或1考点二6已知 f(x)12x1，x0，x12，x0，使 f(x)1 成立的 x 的取值范围是_解析：由题意知x0，12x11或x0，x121，解得4x0或0 x2，故x的取值范围是4,2答案：4,2考点二全国卷5年真题集中演练明规律1(2016全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是()Ayx Bylg xCy2x Dy 1x解析：函数y10lg x的定义域与值域均为(0，)函数yx的定义域与值域均为(，)函数yl
13、g x的定义域为(0，)，值域为(，)函数y2x的定义域为(，)，值域为(0，)函数y 1x的定义域与值域均为(0，)故选D.答案：D2(2015新课标全国卷)设函数f(x)1log22x，x1，2x1，x1，则f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12解析：21，f(log212)2log2121 122 6.f(2)f(log212)369.答案：C 3(2015新课标全国卷)已知函数f(x)2x12，x1，log2x1，x1，且f(a)3，则f(6a)()A74 B54C34D14解析：由于f(a)3，若a1，则2a123，整理得2a11.由于2x0，所以2a11无解；若a1，则log2(a1)3，解得a7，所以f(6a)f(1)211274.综上所述，f(6a)74.答案：A4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)x22x，x0，lnx1，x0.若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1)C2,1 D2,0解析：y|f(x)|的图象如图所示，yax为过原点的一条直线，当|f(x)|ax时，必有ka0，其中k是yx22x(x0)在原点处的切线的斜率，显然，k2.所以a的取值范围是2,0答案：D