1、第六节抛 物 线本节主要包括2个知识点：1.抛物线的定义及其应用；2.抛物线的标准方程及性质.突破点(一)抛物线的定义及其应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_ _的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_.距离相等焦点准线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用抛物线的定义求解距离问题例 1(1)(2017赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为()A(0,0)B.12，1 C(1，2)D(2,2)解析 过 M 点
2、作准线的垂线，垂足是 N(图略)，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时 M(2,2)答案 D 解析(2)依题意，由点 M 向抛物线 x24y 的准线 l：y1 引垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心 C(1，5)到 y1的距离再减去圆 C 的半径，即等于 615，因此|MA|MF|的最小值是 5.(3)由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和
3、的最小值，即焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是|406|52.答案(2)5(3)2(2)已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：(x1)2(y5)21 上，则|MA|MF|的最小值是_(3)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是_焦点弦问题焦点弦的常用结论：以抛物线y22px(p0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2p24，
4、y1y2p2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AF|p1cos ，|BF|p1cos；(3)|AB|x1x2p2psin2(其中为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)SAOBp22sin(其中为直线AB的倾斜角)；(5)1|AF|1|BF|2p为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，A1FB190；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线例 2 已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2
5、)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明：设直线AB的方程为xmy p2，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyBp2，即yBp2yA.BCx轴，且C在准线xp2上，Cp2，yB.则kOC yBp22pyAyAxAkOA.直线AC经过原点O.突破点(二)抛物线的标准方程及性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”图形y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点坐标_p2，00
6、，p2_准线方程xp2_yp2离心率e1焦半径|PF|x0p2|PF|_|PF|_|PF|y0p2p2，00，p2xp2yp2x0p2y0p2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求抛物线的标准方程1定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程标准方程有四种形式，要注意选择2待定系数法(1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不
7、确定可分为y22px(p0)和y22px(p0)两种情况求解另一种是设成y2mx(m0)，若m0，开口向右；若m0)，则p23，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点坐标为(4,0)时，设方程为y22px(p0)，则p24，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所以所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.抛物线的几何性质例 2(1)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.12，0 B(1,0)C.14，0 D(0,1)解析 抛物线 y22px(p0)的准线为 xp2且过点(1,1)，故p21，解得 p2.所以抛物线的焦点坐标为(
8、1,0)答案 B 解析 抛物线 y24mx 的准线方程为 x1m，椭圆x27y231 的左焦点坐标为(2,0)，由题意知1m2，所以实数 m12.答案 12(2)若抛物线 y24mx 的准线经过椭圆x27 y231 的左焦点，则实数 m 的值为_方法技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性抛物线方程的实际应用抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决
9、实际问题例3 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由解 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(3，3)，B(3，3)设抛物线方程为x22py(p0)，将B点坐标代入得92p(3)，所以p32.所以抛物线方程为x23y(3y0)因为车与箱共高4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，则x2032，所以|x0|32 62，所以2|x0|60)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程
10、为x22y.当y3时，x 6.水位下降1米后，水面宽为2 6米答案：2 6全国卷5年真题集中演练明规律1(2016全国甲卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y kx(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.12 B1 C.32 D2解析：y24x，F(1,0)又曲线y kx(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y kx(k0)，得k2.故选D.答案：D 2(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8解析：设抛物线的方程为y22px
11、(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|42，|DE|25，抛物线的准线方程为x p2，不妨设A 4p，2 2，D p2，5.点A 4p，2 2，D p2，5在圆x2y2r2上，16p28r2，p24 5r2，16p2 8p24 5，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.答案：B 3(2015新课标全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 12，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12解析：抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又 ca 12，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为 x216 y2121
12、.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象的对称性可知|AB|2|yA|6.故选B.答案：B 4(2014新课标全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|()A.72 B.52C3 D2解析：如图所示，过点Q作QQl交l于点Q，设l与x轴交点为M，因为 FP4FQ，所以|QQ|MF|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离|MF|4，所以|QF|QQ|3.故选C.答案：C5(2014新课标全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.3 34 B.9 38 C.6332D.94解析：易知抛物线中p 32，焦点F 34，0，直线AB的斜率k33，故直线AB的方程为y33x34，代入抛物线方程y23x，整理得x2 212 x 916 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2212.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p212 3212，结合图象可得O到直线AB的距离d p2 sin 30 38，所以OAB的面积S12|AB|d94.答案：D