1、第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和、差及倍角公式考纲解读1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题预测2021年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等题型既可能是客观题
2、，也可能是解答题，难度属中档.对应学生用书P0731.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()coscossinsin.C()：cos()coscossinsin.(2)S()：sin()sincoscossin.S()：sin()sincoscossin.(3)T()：tan().T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin22sincos.(2)C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)T2：tan2.3公式的常用变形(1)tantantan()(1tantan)(2)cos2，sin2.(3)1sin2(sincos)2，sin
3、cossin.(4)asinbcossin()，其中cos，sin，tan(a0)1概念辨析(1)公式C()，S()，S2，C2中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sinsin成立()(3)在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定()(4)公式tan()可以变形为tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立()(5)对任意角都有1sin2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)若cos，是第三象限的角，则sin()A B. C D.答案C解析因为cos，是第三象限的角，所以sin，所以sinsincoscossin.(2)
4、计算：cos()cossin()sin()Asin(2) BsinCcos(2) Dcos答案D解析cos()cossin()sincos()cos.(3)已知cosx，则cos2x()A B. C D.答案D解析cos2x2cos2x1221.(4)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若tan，则tan()的值为()A0 B. C. D.答案D解析由角与角的始边相同，终边关于y轴对称可知tantan.又tan，所以tan，所以tan()，故选D.对应学生用书P074题型 一两角和、差及倍角公式的直接应用1(2019山西大学附中模拟)已知cos2cos()，则
5、tan()A4 B4 C D.答案C解析因为cos2cos()，所以sin2cos，所以tan2，所以tan.2(2019长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos_.答案1解析由已知条件，得cos，sin，所以cos2cos2sin2，sin22sincos，所以coscos2cossin2sin1.3已知，sin，则sin的值为_答案解析因为，sin.所以cos.所以sin22sincos，cos2cos2sin2，所以sinsincos2cossin2.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征
6、和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”如举例说明2.(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用如举例说明1,3.(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 1(2019石家庄质检)若sin()，且，则sin2的值为()A B C. D.答案A解析sin()，sin，又，cos，sin22sincos2.2(2019武威模拟)已知角在第二象限，若sin，则tan2()A. B. C D答案C解析因为是第二象限角，且sin，所以cos.所以tan.所以tan2.3若sin()，sin()，则等于()A5 B1 C6 D.答案A
7、解析由题意可得sincoscossin，sincoscossin，解得sincos，cossin，5.题型 二两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1计算sin133cos197cos47cos73的结果为()A. B. C. D.答案A解析sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17sin(4717)sin30.2(1tan18)(1tan27)的值是()A. B1C2 D2(tan18tan27)答案C解析(1tan18)(1tan27)1tan18tan27tan18tan271tan45(1tan18tan27)tan18tan272.3已知si
8、ncos，则cos4_.答案解析由sincos，得sin2cos22sincos1sin2，所以sin2，从而cos412sin22122.1注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式2熟记三角函数公式的两类变式(1)和差角公式变形sinsincos()coscos，cossinsin()sincos，tantantan()(1tantan)如举例说明2.(2)倍角公式变形降幂公式cos2，sin2，配方变形：1sin2,1cos2cos
9、2，1cos2sin2.1若x0，sinsincoscos，则x的值是()A. B. C. D.答案D解析由已知得，coscossinsincosx0.x0，x.2已知，且sinsinsin，coscoscos，那么()A. B C. D答案C解析由已知得sinsinsin，coscoscos，由22得22(sinsincoscos)1，所以cos().因为，所以，因为，所以sinsinsin0，所以，所以，所以.3已知atanb(abtan)tan，且与的终边相同，则的值为()A. B. C. D.答案B解析已知等式可化为atanbatanbtantan，即b(1tantan)a(tanta
10、n)，tan()，又与的终边相同，即2k(kZ)，tan()tantan，即，故选B.题型 三两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1角的变换1(2019南开区模拟)已知0，cos，sin().(1)求sin2的值；(2)求cos的值解(1)sin2cos2cos21.(2)因为0，所以0，cos()0，所以是第一象限角，所以cos，所以sinsinsincos.2(2019吉林第三次调研)若sin，则cos2_.答案解析因为sinsincos，所以cos2.3(2018江苏高考)已知，为锐角，tan，cos().(1)求cos2的值；(2)求tan()的值解(1)因为tan，tan，所以sinc
11、os.因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan，所以tan2，因此，tan()tan2().思想方法三角恒等变换中的拆角、凑角思想 典例1(2019濮阳模拟)设090，若sin(752)，则sin(15)sin(75)()A. B. C D答案B解析因为090，所以75752255，又因为sin(752)0，所以180752255，角752为第三象限角，所以cos(752).所以sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)sin(302)sin(752)45sin
12、(752)cos45cos(752)sin45，故选B.典例2若tan，tan()，则tan_.答案解析因为tan，tan()，所以tantan().方法指导三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的对应学生用书P282组基础关1(2019潍坊模拟)若cos，则cos2()A B C. D.答案C解析因为cossin，所以sin，所以cos212sin212.2(2020武威摸底)已知角的终边经过点P(1，)，则sin2的值为()A. B C D答案B解析因为角的终边经过点P(1，)，所以由任意角三角函数的定义知，sin，co
13、s，所以sin22sincos.3sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的值为()A. B. C. D.答案B解析原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin45.4(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A. B. C. D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故选B.5.的值为()A2 B2 C2 D.答案B解析原式2.6(2019六安模拟)已知sin2cos，则tan2()A
14、 B. C D.或答案B解析因为sin2cos，所以(sin2cos)2，即sin24sincos4cos2.可得，所以，解得tan3或tan.当tan3时，tan2.当tan时，tan2.7已知cos，则cosxcos()A. B. C. D.答案D解析cosxcoscoscos2coscos，故选D.8(2019河南六市联考)已知tan2，x是第三象限角，则cosx_.答案解析因为tan2，所以2，解得tanx，即sinxcosx，又sin2xcos2x1，所以cos2x，又x是第三象限角，所以cosx.9化简：_.答案解析原式tan(902).10定义运算adbc.若cos，0，则_.答
15、案解析依题意有sincoscossinsin().又0，0，故cos()，而cos，sin，于是sinsin()sincos()cossin()，故.组能力关1(2019辽宁五校协作体模拟)若sin，则cos()A. B. C D答案D解析sin，cos，coscos2cos21.2(2019银川一中模拟)在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设a，b是非零实数，且满足tan，则()A4 B. C2 D.答案D解析tantan，且tan，k，k，kZ，tantan.3已知为第二象限角，且tantan2tantan2，则sin等于()A B. C D.答案C解析tan
16、tan2tantan22tan2，是第二象限角，sin，cos，则sinsinsincossinsincos.4(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos的值解(1)由角的终边过点P，得sin，所以sin()sin.(2)由角的终边过点P，得cos，由sin()得cos().由()得coscos()cossin()sin，所以cos或cos.5已知coscos，.(1)求sin2的值；(2)求tan的值解(1)coscoscossinsin，即sin.，2，cos，sin2sinsincoscossin.(2)，2，又由(1)知sin2，cos2.tan22.